事件触发调度下带有动态偏差的传感器网络分布式融合状态估计

王有刚，武怀勤; WANG Yougang; WU Huaiqin

2025-6-3- 12

doi: 10.13878/j.cnki.jnuist.20230523002

王有刚¹ ，武怀勤²

1. 吕梁学院数学与人工智能系,吕梁, 033001

2. 燕山大学理学院,秦皇岛, 066004

基金项目: 国家自然科学基金(12171416)

详细信息

作者简介

王有刚,男,讲师,研究方向为神经网络的理论与应用.wangyougang1234@126.com

中图分类号: TP212

文献标识码: A

Distributed fusion state estimation for sensor networks with dynamic bias under event-triggered scheduling

WANG Yougang¹ ， WU Huaiqin²

1. Department of Mathematics and Artificial Intelligence,Lyuliang University,Lyuliang 03300l,China

2. School of Science,Yanshan University,Qinhuangdao 066004 ,China

摘要

本文研究了一类基于传感器网络传输的具有加性和乘性噪声的线性系统的事件触发分布式滤波问题,并且所考虑的过程噪声和测量噪声具有一步自相关且两步交叉相关特性.首先,利用一个递推方程描述系统的动态偏差,并采用伯努利分布的随机变量刻画随机丢包现象.其次,引入事件触发机制在确保滤波性能的前提下降低信息传输频率,构造基于一致性的新型分布式滤波器.再次,利用随机分析技术建立滤波误差协方差上界的递推方程并通过最小化方差约束指标,给出滤波增益的表达式.最后,通过数值仿真验证了所提出的优化滤波方法的有效性.

关键词

传感器网络 / 递推分布式滤波 / 事件触发机制 / 相关噪声 / 动态偏差

Abstract

This paper investigates the event-triggered distributed filtering problem for a class of linear systems with additive and multiplicative noises transmitted over sensor networks,in which the considered process noise and measurement noise exhibit one-step autocorrelation and two-step cross-correlation characteristics.Firstly,a recursive equation is used to describe the dynamic bias of the system,and random variables following a Bernoulli distribution are introduced to characterize the random packet loss phenomenon.Secondly,an event-triggered mechanism is introduced to reduce the information transmission frequency while ensuring filtering performance,and a novel consistency-based distributed filter is constructed.Then,a recursive equation for the upper bound of filtering error covariance is established using stochastic analysis techniques,and an expression for filtering gain is derived by minimizing the variance constraint index.Finally,the effectiveness of the proposed optimized filtering method is verified through numerical simulations.

Keywords

sensor networks / recursive distributed filtering / event-trigger mechanism / correlated noises / dynamical bias

0 引言 1 带有动态偏差和相关噪声的传感器网络的估计器设计 2 基于事件触发的分布式状态估计算法 3 仿真算例 4 结论

0 引言

传感器网络是由许多智能传感器组成的，这些传感器具备通信和数据处理能力，它们通过相互协作来观测目标或环境的情况.随着无人驾驶、健康监护和家庭自动化等领域的迅速发展，对传感器网络的需求不断增加.因此，对传感器网络的结构和动态特性进行了大量的研究^[1-2].其中，分布式滤波问题在基于传感器网络传输的分布式滤波中受到广泛关注^[3-4].例如，针对一类带有均匀量化和欺骗攻击的离散随机系统，文献^[5]提出一种新型的分布式滤波算法，可以有效地限制异常信息对滤波性能的负面影响.

传统的Kalman滤波算法适用于受高斯白噪声影响的系统，然而在实际应用场景中，噪声往往具有相关性.例如，当目标和传感器在相同的环境中工作时，过程噪声和测量噪声可能存在交叉相关.针对这种情况，文献^[6]建立了受自相关和交叉相关加性噪声影响的线性系统模型，并提出了分布式加权鲁棒Kalman融合滤波算法.此外，乘性噪声普遍存在，并且是引发随机不确定性的主要因素之一，因此，学者们已经提出了许多受乘性噪声影响的系统的滤波方法^[7-8].除此之外，系统还可能受到强相关性噪声的影响，即随机动态偏差噪声.文献^[9]首次将动态偏差表示为一个动态方程，并设计了解耦Kalman估计器，提升了算法的计算效率和稳定性.近年来，随机动态偏差在时变复杂网络的状态估计^[10]、多速率系统的状态和故障联合估计^[11]等问题中受到广泛关注.然而，目前对同时受乘性噪声、加性相关噪声和动态偏差影响的系统的分布式状态估计问题尚未得到充分研究，这也是本文的研究目的之一.

目前，许多分布式滤波方法是基于时间触发机制的，即传感器在每个采样时刻都向网络中传输信息.然而在现实中，网络化系统常常面临能源受限和通信带宽不足的问题，频繁的通信会缩短网络的寿命.为了更合理地分配网络资源，基于事件触发机制的分布式滤波算法成为近年来的研究热点^[12-14].例如，文献^[15]使用一组线性T-S模糊模型来近似描述原始离散非线性系统，并讨论了基于事件触发机制的分布式状态估计问题.为了进一步提高资源利用率，文献^[16]在事件触发机制的基础上引入一个辅助动态变量来调节触发阈值，从而设计了动态事件触发机制，并解决了基于G-E信道传输的递推分布式滤波问题.目前对于具有相关噪声、动态偏差和随机测量丢失的离散系统的事件触发分布式滤波的研究尚不够充分.因此，本文的目标是设计一种适用于这类系统的新型优化滤波器.

综上所述，本文的主要目标是在统一相关噪声、动态偏差和随机测量丢失的框架下，解决事件触发分布式融合递推滤波问题.面临的挑战包括:如何设计分布式估计器，以更有效地利用本地测量输出和邻接节点的信息; 如何处理相关噪声和动态偏差引入的复杂耦合项，在推导主要结果的过程中进行处理.本文的主要贡献可以总结为:1）首次在同一框架下讨论了带有动态偏差、相关噪声和测量丢失的离散时变系统的事件触发分布式滤波问题; 2）设计了具有双增益的新型分布式滤波器，它利用本地测量和通过事件触发机制后的邻接节点信息进行测量更新; 3）设计的优化滤波算法具有递推形式，适用于在线应用.

符号说明:除特别说明之外，本文采用标准符号.Rⁿ代表n维欧氏空间，λ_max（A）是A的最大特征值，对于对称矩阵A和B，A≥B意味着A-B是一个半正定阵.

1 带有动态偏差和相关噪声的传感器网络的估计器设计

本文用一个有向图

G = （ F ， Y ， V ）

来刻画传感器网络模型，其中，

F = {1，2 ， \dots ， N} ， Y = F \times F ， V = {[a_{i j}]}_{N \times N} (a_{i j} ⩾ 0)

分别代表节点的集合、边的集合以及邻接矩阵.此外，令

N_{i} = \{j \in F : a_{i j} > 0\}

代表i的邻接节点的集合，假设

N_{i}

非空.

考虑下述带有动态偏差和相关噪声的传感器网络:

{\vec{x}}_{k + 1} = ({\vec{A}}_{k} + {\vec{α}}_{k} {\vec{E}}_{k}) {\vec{x}}_{k} + D_{k} b_{k} + B_{w, k} {\vec{ω}}_{k}

(1)

{\vec{y}}_{i, k} = Γ_{i, k} C_{i, k} {\vec{x}}_{k} + ν_{i, k}, i = 1,2, \dots, N,

(2)

b_{k + 1} = F_{k} b_{k} + B_{β, k} β_{k},

(3)

式中:

{\vec{x}}_{k} \in R^{n}

代表k时刻待估计的状态向量，它的初值满足

E \{{\vec{x}}_{0}\} = \bar{{\vec{x}}_{0}}

，其协方差矩阵为

{\vec{X}}_{0}; {\vec{y}}_{i ， k} \in R^{m}

是第i个传输器的测量输出; b_k₊₁∈R^p刻画了影响系统的动态偏差.

{\vec{E}}_{k}

刻画了乘性噪声中的范数有界不确定性，满足:

{\vec{E}}_{k} = {\vec{M}}_{k} {\vec{E}}_{k} {\vec{N}}_{k} .

(4)

其中，

{\vec{E}}_{k} {\vec{E}}_{k}^{T} ⩽ I \cdot {\vec{A}}_{k} ， D_{k} ， B_{w ， k} ， C_{i ， k} ， F_{k} ， B_{β ， k} ， {\vec{M}}_{k}

和

{\vec{N}}_{k}

是已知且具有适当维数的矩阵.Γ_i_，_k=diag{γ_i_1，_k_，γ_i_2，_k，···，γ_im_，_k}反映了测量丢失现象，其中，γ_ir_，_k是服从伯努利分布的随机变量且满足：

\begin{matrix} p r o b \{γ_{i r, k} = 1\} = {\bar{γ}}_{i r}, \\ p r o b \{γ_{i r, k} = 0\} = 1 - {\bar{γ}}_{i r} . \end{matrix}

(5)

{\vec{α}}_{k} ， {\vec{ω}}_{k} ， ν_{i ， k}

和β_k的期望和协方差由下列式子给出：

\begin{matrix} E \{\vec{α_{k}}\} = 0, E \{\vec{α_{k}} {\vec{α}}_{t}^{T}\} = {\vec{Q}}_{α, k} δ_{k, t}, E \{β_{k}\} = 0, \\ E \{β_{t} β_{t}^{T}\} = H_{k, t} (δ_{k, t} + δ_{k, t - 1} + δ_{k, t + 1}), \\ E \{{\vec{ω}}_{k} ν_{j, t}^{T}\} = S_{j, k, t} (δ_{k, t} + δ_{k, t - 1} + δ_{k, t - 2}), \\ E \{ν_{i, k} β_{t}^{T}\} = L_{i, k, t} (δ_{k, t} + δ_{k, t - 1} + δ_{k, t - 1}), \\ E \{{\vec{ω}}_{k}\} = 0, E \{{\vec{ω}}_{k} {\vec{ω}}_{t}^{T}\} = {\vec{Q}}_{k, t} (δ_{k, t} + δ_{k, t - 1} + δ_{k, t + 1}), \\ E \{{\vec{ω}}_{k} β_{t}^{T}\} = O_{k, t} δ_{k, t}, E \{ν_{i, k}\} = 0, \\ E \{ν_{i, k} ν_{j, t}^{T}\} = R_{i, k, l} δ_{i, j} (δ_{k, t} + δ_{k, t - 1} + δ_{k, t + 1}) . \end{matrix}

(6)

从系统（1）—（3）可以看出，动态偏差b_k的存在不利于状态估计器的设计.为此，首先将实际的系统状态与动态偏差增广为新的状态向量

x_{k} = {[x_{k}^{T} b_{k}^{T}]}^{T}

.引入如下符号:

\begin{matrix} A_{k} = [\begin{matrix} {\vec{A}}_{k} + {\vec{α}}_{k} {\vec{E}}_{k} & D_{k} \\ 0 & F_{k} \end{matrix}], B_{k} = d i a g \{B_{ω, k}, B_{β, k}\}, \\ C_{k} = [\begin{matrix} C_{i, k} & 0 \end{matrix}], ζ_{k} = {[\begin{matrix} {\vec{ω}}_{k}^{T} & β_{k}^{T} \end{matrix}]}^{T} . \end{matrix}

(7)

最后利用上述符号将系统（1）—（3）改写为如下形式:

x_{k + 1} = A_{k} x_{k} + B_{k} ζ_{k},

(8)

y_{i, k} = Γ_{i, k} C_{i, k} x_{k} + ν_{i, k} .

(9)

现有的研究结果表明，传输信息需要消耗大量能量.因此，为了节约能源并延长传感器网络的使用寿命，引入事件触发机制以降低信息传输的频率，首先构造如下的触发函数：

f ({\tilde{y}}_{i j, k}, σ_{j}) ≜ {({\tilde{y}}_{i j, k} - {\tilde{y}}_{i j, k_{t}})}^{T} ({\tilde{y}}_{i j, k} - {\tilde{y}}_{i j, k_{t}}) - σ_{j} .

(10)

其中:

{\tilde{y}}_{i j ， k} = y_{j ， k} - {\bar{Γ}}_{j} C_{j ， k} {\hat{x}}_{i ， k ∣ k - 1} ， {\bar{Γ}}_{j} = d i a g \{{\bar{γ}}_{j 1} ， {\bar{γ}}_{j 2} ， \dots ， {\bar{γ}}_{j m}\}

分别代表测量输出的一步预测误差以及测量丢失矩阵的均值.式中的

{\hat{x}}_{i ， k ∣ k - 1}

表示状态的一步预测;

{\tilde{y}}_{i j ， k_{t}}

代表传感器i距离k时刻最近接收到的来自传感器j的新息; σ_j＞0是已知的触发阈值.当f（

{\tilde{y}}_{i j ， k}

，σ_j）＞0时，传感器j才会将计算得到的新息传输给相邻的传感器i; 否则，估计器i会利用最近收到的新息完成测量更新.因此，估计器能利用的新息可表示为

{\bar{\tilde{y}}}_{i j, k} = {\tilde{y}}_{i j, k_{t}}, k \in [k_{t}, k_{t + 1}) .

(11)

定义

e_{i j ， k} ≜ {\tilde{y}}_{i j ， k} - {\bar{\tilde{y}}}_{i j ， k}

为事件触误差.

接下来，构造具有如下形式的状态估计器:

{\hat{x}}_{i, k + 1 ∣ k} = {\bar{A}}_{k} {\hat{x}}_{i, k | k},

(12)

{\hat{x}}_{i, k + 1 ∣ k + 1} = {\hat{x}}_{i, k + 1 ∣ k} + K_{i, k + 1} p_{i, k + 1} + G_{i, k + 1} {\tilde{y}}_{i i, k + 1} .

(13)

其中:

{\hat{x}}_{i ， k + 1 ∣ k + 1}

是k+1时刻的估计; K_i_，_k₊₁和G_i_，_k₊₁分别是待求的增益矩阵.此外

p_{i, k + 1} = \sum_{j \in \bar{A} v_{i}} a_{i j} {\bar{\tilde{y}}}_{i j, k + 1}, {\bar{A}}_{k} = [\begin{matrix} {\vec{A}}_{k} & D_{k} \\ 0 & F_{k} \end{matrix}] .

最后，定义预测误差，估计误差以及相应的协方差矩阵分别为

\begin{matrix} {\tilde{x}}_{i, k + 1 ∣ k} ≜ x_{k + 1} - {\hat{x}}_{i, k + 1 ∣ k}, {\tilde{x}}_{i, k + 1 ∣ k + 1} ≜ x_{k + 1} - {\hat{x}}_{i, k + 1 ∣ k + 1}, \\ P_{i, k + 1 | k} ≜ E \{{\tilde{x}}_{i, k + 1 | k} {\tilde{x}}_{i, k + 1 ∣ k}^{T}\}, P_{i, k + 1 | k + 1} ≜ E \{{\tilde{x}}_{i, k + 1 | k + 1} {\tilde{x}}_{i, k + 1 ∣ k + 1}^{T}\} . \end{matrix}

(14)

本文的主要目标是针对基于传感器网络传输的系统（1）—（3），设计形如（12）和（13）的估计器，并提出满足下述条件的分布式状态估计算法:

1）对于

\forall k ⩾ 0

，存在正定矩阵Ψ_i_，_k_+1|_k₊₁满足Ψ_i_，_k_+1|_k₊₁≥P_i_，_k_+1|_k₊₁;

2）选择合适的增益矩阵K_i_，_k₊₁和G_i_，_k₊₁使得性能指标tr{Ψ_i_，_k_+1|_k₊₁}达到最小.

2 基于事件触发的分布式状态估计算法

在本节中，首先根据定义计算得到状态的一步预测误差和估计误差的表达式; 其次，获得一步预测误差协方差矩阵以及估计误差协方差矩阵; 最后，根据随机分析技术和矩阵理论，得到估计误差协方差上界的表达式并选择合适的增益矩阵使得上界的迹最小.

Γ_{j ， k + 1}

根据增广后的系统方程（8）和（9）以及估计器（12）和（13），给出一步预测误差和估计误差的动态方程:

{\tilde{x}}_{i, k + 1 ∣ k} = {\bar{A}}_{k} {\tilde{x}}_{i, k ∣ k} - {\tilde{A}}_{k} x_{k} + B_{k} ζ_{k},

(15)

\begin{matrix} {\tilde{x}}_{i, k + 1 | k + 1} = (I - K_{i, k + 1} \sum_{j \in N_{i}} a_{i j} {\bar{Γ}}_{j} C_{j, k + 1} - G_{i, k + 1} {\bar{Γ}}_{i} C_{i, k + 1}) {\tilde{x}}_{i, k + 1 | k} - \\ (K_{i, k + 1} \sum_{j \in N_{i}} a_{i j} {\tilde{Γ}}_{j, k + 1} C_{j, k + 1} + G_{i, k + 1} {\tilde{Γ}}_{i, k + 1} C_{i, k + 1}) x_{k + 1} + \\ K_{i, k + 1} \sum_{j \in N_{i}} a_{i j} e_{j, k + 1} - K_{i, k + 1} \sum_{j \in N_{i}} a_{i j} ν_{j, k + 1} - G_{i, k + 1} ν_{i, k + 1} . \end{matrix}

(16)

其中:

\tilde{A_{k}} = d i a g \{{\vec{α}}_{k} {\vec{E}}_{k} ， 0\}

.为了表示得更加简洁，引入如下符号:

\begin{matrix} H_{i} = {[h_{i j}]}_{1 \times N} = \{\begin{matrix} h_{i j} = a_{i j}, & j \in N_{i}; \\ h_{i j} = 0, & j \notin N_{i} . \end{matrix} \\ \bar{Γ} = d i a g \{{\bar{Γ}}_{1}, {\bar{Γ}}_{2}, \dots, {\bar{Γ}}_{N}\}, \\ {\tilde{Γ}}_{k} = d i a g \{{\tilde{Γ}}_{1, k}, {\tilde{Γ}}_{2, k}, \dots, {\tilde{Γ}}_{N, k}\}, \\ C_{k} = c o l \{C_{1, k}, C_{2, k}, \dots, C_{N, k}\}, \\ e_{k} = c o l \{e_{1, k}, e_{2, k}, \dots, e_{N, k}\}, \\ ν_{k} = c o l \{ν_{1, k}, ν_{2, k}, \dots, ν_{N, k}\}, \\ {\tilde{Γ}}_{r, k} = Γ_{r, k} - {\bar{Γ}}_{r} . \end{matrix}

(17)

根据式（17），式（16）可以改写为如下形式:

\begin{matrix} {\tilde{x}}_{i, k + 1 | k + 1} = (I - K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) \bar{Γ} C_{k + 1} - \\ G_{i, k + 1} \bar{Γ} C_{i, k + 1}) {\tilde{x}}_{i, k + 1 | k} - (K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) {\tilde{Γ}}_{k + 1} C_{k + 1} + \\ G_{i, k + 1} {\tilde{Γ}}_{i, k + 1} C_{i, k + 1}) x_{k + 1} + K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) e_{k + 1} - \\ K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) ν_{k + 1} - G_{i, k + 1} ν_{i, k + 1} . \end{matrix}

(18)

其中:

\otimes

代表克罗内克积.

引理1 对于系统（8）和（9）以及估计器（12）和（13），P_i_，_k_+1|_k以及P_i_，_k_+1|_k₊₁分别具有如下递推形式:

\begin{matrix} P_{i, k + 1 | k} = E \{{\bar{A}}_{k} {\tilde{x}}_{i, k | k} {\tilde{x}}_{i, k | k}^{T} {\bar{A}}^{T} + {\tilde{A}}_{k} x_{k} x_{k}^{T} {\tilde{A_{k}^{T}}}_{} + B_{k} ζ_{k} ζ_{k}^{T} B_{k}^{T}\} + \\ E \{{\bar{A}}_{k} {\tilde{x}}_{i, k | k |} ζ_{k}^{T} B_{k}^{T} + B_{k} ζ_{k} {\tilde{x}}_{i, k ∣ k}^{T} {\bar{A}}^{T}\}, \end{matrix}

(19)

\begin{matrix} P_{i, k + 1 | k + 1} = E \{F_{k + 1} {\tilde{x}}_{i, k + 1 | k} {\tilde{x}}_{i, k + 1 | k}^{T} F_{k + 1}^{T} + \\ J_{k + 1} x_{k + 1} x_{k + 1}^{T} J_{k + 1}^{T} + K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) e_{k + 1} e_{k + 1}^{T} (H_{i} \otimes) \\ I)^{T} K_{i, k + 1}^{T} + K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) ν_{k + 1} ν_{k + 1}^{T} (H_{i} \otimes \\ I)^{T} K_{i, k + 1}^{T} + G_{i, k + 1} ν_{i, k + 1} ν_{i, k + 1}^{T} G_{i, k + 1}^{T} + \\ \sum_{s = 1}^{4} (D_{s} + D_{s}^{T})\} . \end{matrix}

(20)

其中:

\begin{matrix} F_{k + 1} = I - K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) \bar{Γ} C_{k + 1} - G_{i, k + 1} {\bar{Γ}}_{i} C_{i, k + 1}, \\ J_{k + 1} = K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) {\tilde{Γ}}_{k + 1} C_{k + 1} + G_{i, k + 1} {\tilde{Γ}}_{i, k + 1} C_{i, k + 1}, \\ D_{1} = F_{k + 1} {\tilde{x}}_{i, k + 1 ∣ k} e_{k + 1}^{T} {(H_{i} \otimes I)}^{T} K_{i, k + 1}^{T}, \\ D_{2} = - F_{k + 1} {\tilde{x}}_{i, k + 1 | k} ν_{k + 1}^{T} {(H_{i} \otimes I)}^{T} K_{i, k + 1}^{T}, \\ D_{3} = - F_{k + 1} {\tilde{x}}_{i, k + 1 | k} ν_{i, k + 1}^{T} G_{i, k + 1}^{T}, \\ D_{4} = - K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) e_{k + 1} ν_{k + 1}^{T} {(H_{i} \otimes I)}^{T} K_{i, k + 1}^{T} . \end{matrix}

注1 观察式（19）和（20）可知，表达式中存在交叉乘积项和事件触发误差项，因而无法得到预测误差和估计误差协方差矩阵的精确值.为此先根据随机分析理论并利用基本不等式对协方差矩阵进行放缩，进而找到误差协方差的一个上界，接着通过设计合适的增益矩阵使得该上界矩阵的迹达到最小.

在引理1的帮助下，下述定理给出了一步预测误差协方差矩阵的上界Ψ_i_，_k_+1|_k以及估计误差协方差矩阵的上界Ψ_i_，_k_+1|_k₊₁的表达式.

定理1 给定ε_r＞0（r=1，2，3，4），若下面两个矩阵微分方程

(21)

(22)

\circ

代表哈达玛积，

(23)

证明首先，根据噪声的相关性（6）可以得到

\begin{matrix} E \{{\bar{A}}_{k} {\tilde{x}}_{i, k | k} ζ_{k}^{T} B_{k}^{T}\} = {\bar{A}}_{k} (B_{k - 1} S_{k - 1, k} + \\ {G_{i, k} {\bar{Γ}}_{i} C_{i, k} B_{k - 1} S_{k - 1, k} + G_{i, k} L_{i, k, k})}_{k}^{T} \end{matrix}

(24)

式中，

S_{k - 1 ， k}

和

L_{i ， k ， k}

在式（23）中给出.利用基本不等式

a b^{T} + b a^{T} ⩽ ε a a^{T} + ε^{- 1} b b^{T}

（其中，ε 是正标量，a，b是具有适当维数的向量），易得：

E \{x_{k} x_{k}^{T}\} ⩽ ε_{1} P_{i, k ∣ k} + ε_{1}^{- 1} {\hat{x}}_{i, k ∣ k} {\hat{x}}_{i, k ∣ k}^{T} .

(25)

其中，ε₁为给定的正标量.进一步地，结合式（4）与式（25），有

\begin{matrix} E \{{\tilde{A}}_{k} x_{k} x_{k}^{T} {\tilde{A}}_{k}^{T}\} ⩽ λ_{m a x} \{{\vec{N}}_{k} (ε_{1} P_{i, k ∣ k} + \\ ε_{1}^{- 1} {\hat{x}}_{i, k | k} {\hat{x}}_{i, k | k}^{T}) {\vec{N}}_{k}^{T}\} {\vec{Q}}_{α, k} {\vec{M}}_{k} {\vec{M}}_{k}^{T} . \end{matrix}

(26)

其中，

{\vec{Q}}_{α ， k}

，

{\vec{N}}_{k}

和

{\vec{M}}_{k}

在式（23）中给出.同时考虑式（19），（21）和（26）可以得到:

(27)

其中，

P_{k}

和

M_{k}

同样在式（23）中给出.

接着，再次利用基本不等式处理式（20）中的交叉乘积项可以得到:

\begin{matrix} D_{1} + D_{1}^{T} ⩽ ε_{2} F_{k + 1} {\tilde{x}}_{i, k + 1 ∣ k} {\tilde{x}}_{i, k + 1 | k}^{T} F_{k + 1}^{T} + \\ ε_{2}^{- 1} K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) e_{k + 1} e_{k + 1}^{T} {(H_{i} \otimes I)}^{T} K_{i, k + 1}^{T}, \end{matrix}

(28)

\begin{matrix} D_{4} + D_{4}^{T} ⩽ ε_{3} K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) e_{k + 1} e_{k + 1}^{T} (H_{i} \otimes I)^{T} K_{i, k + 1}^{T} + \\ ε_{3}^{- 1} K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) ν_{k + 1} ν_{k + 1}^{T} (H_{i} \otimes I)^{T} K_{i, k + 1}^{T} . \end{matrix}

(29)

其中，ε₂和ε₃是已知的正标量.此外，采用与式（24）类似的处理方法，有

\begin{matrix} E \{D_{2}\} = - \sum_{j = 1}^{N} h_{i j} F_{k + 1} B_{k} L_{j, k, k + 1}^{T} K_{i, k + 1}^{T} + \\ \sum_{j = 1}^{N} h_{i j}^{2} δ_{k, s_{j}, l} F_{k + 1} {\bar{A}}_{k} \times K_{j, k} R_{j, k, k + 1} K_{i, k + 1}^{T}, \end{matrix}

(30)

\begin{matrix} E \{D_{3}\} = - F_{k + 1} B_{k} L_{i, k, k + 1}^{T} G_{i, k + 1}^{T} + \\ F_{k + 1} {\bar{A}}_{k} G_{i, k} R_{i, k, k + 1} G_{i, k + 1}^{T} . \end{matrix}

(31)

一方面，从式（5）可知

E \{{\tilde{Γ}}_{i ， k}\} = 0

并且

E \{{\tilde{Γ}}_{i ， k}\} E \{{\tilde{Γ}}_{j ， k}\} = 0 （ i \neq j ）

，结合式（25）可以得到如下不等式:

\begin{matrix} E \{J_{k + 1} x_{k + 1} x_{k + 1}^{T} J_{k + 1}^{T}\} ⩽ \\ λ_{m a x} (E \{x_{k + 1} x_{k + 1}^{T}\}) E \{J_{k + 1} J_{k + 1}^{T}\} ⩽ \\ λ_{max} (ε_{4} P_{i, k + 1 | k} + ε_{4}^{- 1} {\hat{x}}_{i, k + 1 ∣ k} {\hat{k}}_{i, k + 1 | k}^{T}) \\ (K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) (Ξ \circ C_{k + 1} C_{k + 1}^{T}) \times \\ (H_{i} \otimes I)^{T} K_{i, k + 1}^{T} + G_{i, k + 1} (Ξ_{i} \circ C_{i, k + 1} C_{i, k + 1}^{T}) G_{i, k + 1}^{T}) . \end{matrix}

(32)

另一方面，根据事件触发函数（10）不难验证

\begin{matrix} E \{K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) e_{k + 1} e_{k + 1}^{T} {(H_{i} \otimes I)}^{T} K_{i, k + 1}^{T}\} ⩽ \\ \sum_{j = 1}^{N} σ_{j} K_{i, k + 1} (H_{i} \otimes I) {(H_{i} \otimes I)}^{T} K_{i, k + 1}^{T} . \end{matrix}

(33)

根据式（28）—（33），显然有

(34)

其中，

和

在（23）中给出.至此定理得证.

定理2 对于给出的估计器（12）和（13），选择如下形式的估计器增益矩阵可以使得性能指标tr{Ψ_i_，_k_+1|_k₊₁}达到最小:

\begin{matrix} K_{i, k + 1} = \sum_{i, k + 1}^{1} {(Ω_{i, k + 1}^{1})}^{- 1} + G_{i, k + 1} Φ_{i, k + 1}^{1} {(Ω_{i, k + 1}^{1})}^{- 1}, \\ G_{i, k + 1} = \sum_{i, k + 1}^{2} {[Ω_{i, k + 1}^{2} - Φ_{i, k + 1}^{1} {(Ω_{i, k + 1}^{1})}^{- 1} Φ_{i, k + 1}^{2}]}^{- 1} + \\ \sum_{i, k + 1}^{1} {(Ω_{i, k + 1}^{1})}^{- 1} Φ_{i, k + 1}^{2} {[Ω_{i, k + 1}^{2} - Φ_{i, k + 1}^{1} {(Ω_{i, k + 1}^{1})}^{1} Φ_{i, k + 1}^{2}]}^{- 1} . \end{matrix}

(35)

其中:

\begin{matrix} (H_{i} \otimes I) {\bar{Γ}}_{k + 1} C_{k + 1} B_{k} L_{j, k, k + 1}^{T} - \\ (H_{i} \otimes I) {\bar{Γ}}_{k + 1} C_{k + 1} {\bar{A}}_{k} G_{i, k} R_{j, k, k + 1} . \end{matrix}

(36)

证明首先将

F_{k + 1}

代入式（22）中可以得到：

(37)

其中：

\begin{matrix} Π_{i, k + 1}^{1} = (1 + ε_{2}) (H_{i} \otimes I) {\bar{Γ}}_{k + 1} C_{k + 1} Ψ_{i, k + 1 ∣ k} \\ C_{k + 1}^{T} {\bar{Γ}}_{k + 1}^{T} {(H_{i} \otimes I)}^{T} + λ_{max} \{R_{k}\} (H_{i} \otimes I) \times \\ (Ξ \circ C_{k + 1} C_{k + 1}^{T}) {(H_{i} \otimes I)}^{T} + (1 + ε_{2}^{- 1} + ε_{3}) \sum_{j = 1}^{N} σ_{j} (H_{i} \\ \otimes I) {(H_{i} \otimes I)}^{T} + \\ (1 + ε_{3}^{- 1}) (H_{i} \otimes I) R_{k + 1, k + 1} {(H_{i} \otimes I)}^{T}, \\ Π_{i, k + 1}^{2} = (1 + ε_{2}) {\bar{Γ}}_{i} C_{i, k + 1} Ψ_{i, k + 1 | k} C_{i, k + 1}^{T} {\bar{Γ}}_{i}^{T} + λ_{max} {P_{} \\ _{k + 1}\} (Ξ_{i} \circ C_{i, k + 1} C_{i, k + 1}^{T}) + R_{i, k + 1, k + 1} . \end{matrix}

对矩阵Ψ_i_，_k_+1|_k₊₁的迹分别关于K_i_，_k₊₁和G_i_，_k₊₁求偏导并令偏导数为零，有

(38)

和

(39)

结合式（36）可以得到

K_{i, k + 1} Ω_{i, k + 1}^{1} = \sum_{i, k + 1}^{1} + G_{i, k + 1} Φ_{i, k + 1}^{1},

(40)

G_{i, k + 1} Ω_{i, k + 1}^{2} = \sum_{i, k + 1}^{2} + K_{i, k + 1} Φ_{i, k + 1}^{2} .

(41)

接着，将式（40）代入式（41）可以得到式（35）.证毕.

3 仿真算例

为了验证本文设计的分布式递推滤波算法的有效性，本文考虑具有3个传感器的网络对一个目标进行观测并估计其真实的动态.传感器网络模型用有向图

G = （ F ， Y ， V ）

表示，其中，

F

={1，2，3}为传感器节点的集合，

Y

={（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），（3，2）}代表节点间边的集合，以及

是网络的邻接矩阵.目标系统的状态更新周期以及每个传感器节点的采样周期为（k+1）-k=1，目标初始状态的均值为

\bar{{\vec{x}}_{0}}

=[-2 -2]^T，状态二阶矩为

{\vec{X}}_{0}

=0.5I，设置滤波器的初值为

{\hat{\vec{x}}}_{i ， 010}

=[-2 -2]^T（i=1，2，3），每个传感器的误差协方差上界的初值为Φ_i_，0=5I.令目标（1）—（3）具有下列系统矩阵:

\begin{matrix} {\vec{A}}_{k} = [\begin{matrix} 0.5 & 0.82 \\ 0.38 s i n (k) & 0.35 \end{matrix}], D_{k} = [\begin{matrix} 1.1 & 0.5 \\ 0.9 & 0.5 \end{matrix}], \\ B_{ω, k} = [\begin{matrix} 0.8 \\ 0.9 \end{matrix}] . \end{matrix}

b_k为环境中对目标的未知输入或扰动，它可以用具有递推形式的动态偏差模型来刻画，其中方程的参数为

\begin{matrix} F_{k} = [\begin{matrix} 0.6 & - 0.15 c o s (0.13 k) \\ - 0.5 & 0.91 \end{matrix}], \\ B_{β, k} = [\begin{matrix} 0.8 \\ 0.6 \end{matrix}] . \end{matrix}

目标方程的其他参数设置为

{\vec{M}}_{k} = [\begin{matrix} 0.01 \\ 0.02 \end{matrix}], {\vec{E}}_{k} = s i n (5 k), {\vec{N}}_{k} = [\begin{matrix} 0.03 \\ 0.01 \end{matrix}] .

传感器网络中不同传感器节点的测量方程为

\begin{matrix} C_{1, k} = [\begin{matrix} 1.7 & 1.5 \end{matrix}], C_{2, k} = [\begin{matrix} 1.8 & 1.5 \end{matrix}], \\ C_{3, k} = [\begin{matrix} 1.9 & 1.5 \end{matrix}] . \end{matrix}

此外，传感器节点自身的物理特性或环境因素可能会导致的测量丢失，令不同传感器节点的测量丢失的概率分别为

{\bar{γ}}_{1} = 0.8 ， {\bar{γ}}_{2} = 0.7 ， {\bar{γ}}_{3} = 0.6 .

.为了准确地建立相关噪声模型，首先给出3个互相独立的零均值方差为0.05的高斯白噪声κ_k，λ_k，ξ_k，接着影响目标系统方程和传感器测量方程的加性噪声可表示为

\begin{matrix} {\vec{ω}}_{k} = λ_{k} + λ_{k - 1} + ξ_{k}, β_{k} = κ_{k} + κ_{k - 1} + ξ_{k}, \\ ν_{i, k} = 0.1 i (λ_{k - 1} + λ_{k - 2} + κ_{k - 1} + κ_{k - 2}) . \end{matrix}

对于事件触发机制，σ_i=5（i=1，2，3）代表触发阈值，它的选取通常与人们对目标的具体认识有关.主要结果中的其他参数设置为ε₁=0.3，ε₂=0.5，ε₃=0.3，ε₄=0.5.为了进一步验证优化滤波算法的有效性，本文额外考虑了滤波算法的均方误差.

仿真结果由图1—8给出.具体地，图1—3描述了系统状态以及3个传感器的估计轨迹，可以看出，本文设计的分布式滤波器具有较好的估计效果.图4刻画了3个传感器节点的均方误差及其估计误差协方差上界的迹，从中可以看出均方误差的曲线位于估计误差协方差上界曲线的下方.图5—7给出了传感器网络中的事件触发时刻.图5上表示传感器节点2在函数取值为1的采样时刻向传感器节点1传输测量，取值为0时不传输信息，图5下则对应传感器节点3的情况.由图5—7可知，事件触发机制的确能够降低信息传输的频率，从而节约网络通信资源.图8反映了估计算法的性能与不同测量丢失情况的关系.其中，情况1中传感器节点的测量丢失参数为

{\bar{γ}}_{i}

=0.5（i=1，2，3），情况2传感器节点的测量丢失参数为

{\bar{γ}}_{i}

=0.6（i=1，2，3），情况3中传感器节点的测量丢失参数为

{\bar{γ}}_{i}

=0.9（i=1，2，3）.由图8可以看出，情况1下的测量丢失现象最严重，相应的误差协方差上界的迹的和也最大，进而表明丢失的测量越多估计算法的性能越差，这与人们的常识相符.上述仿真结果验证了本文提出的递推分布式事件触发融合滤波算法，可以很好地解决受到乘性噪声、相关噪声、动态偏差以及随机测量丢失影响的线性系统的滤波问题.

图1系统状态以及传感器节点1的估计

Fig.1States and estimates of sensor node 1

图2系统状态以及传感器节点2的估计

Fig.2States and estimates of sensor node 2

图3系统状态以及传感器节点3的估计

Fig.3States and estimates of sensor node 3

4 结论

本文研究了具有相关噪声、随机测量丢失和动态偏差的离散系统的递推事件触发分布式滤波问题.过程噪声和测量噪声的一步自相关与两步交叉相关的特性用Delta函数来建模，并且用一组服从伯努利分布的随机变量刻画了随机测量丢失，此外采用一个递推方程刻画了动态偏差.首先，基于传感器网络的新息传输过程中，引入事件触发机制并依据本地的测量以及来自邻接节点的新息，设计了新型的递推事件触发分布式融合滤波器.接着，给出了估计误差协方差的一个上界并选择了合适的增益矩阵使该上界的迹最小.最后，利用一个数值仿真，验证了文中给出的主要结果的有效性.

图4估计误差协方差上界的迹以及均方误差

Fig.4Traces of the upper bounds on the estimation error covariance and the mean square error

图5传感器节点2和3向传感器节点1传输的触发时刻

Fig.5Triggering instants of transmission by sensor nodes 2 and 3 to sensor node 1

图6传感器节点1和3向传感器节点2传输的触发时刻

Fig.6Triggering instants of transmission by sensor nodes 1 and 3 to sensor 2

图7传感器节点1和2向传感器节点3传输的触发时刻

Fig.7Triggering instants of transmission by sensor nodes 1 and 2 to sensor node 3

图8不同测量丢失情况下的

\sum_{i = 1}^{3} t r \{Ψ_{i ， k | k}\}

Fig.8

\sum_{i = 1}^{3} t r \{Ψ_{i, k | k}\}

under different missing cases

图1系统状态以及传感器节点1的估计

Fig.1States and estimates of sensor node 1

下载: 全尺寸图片

图2系统状态以及传感器节点2的估计

Fig.2States and estimates of sensor node 2

下载: 全尺寸图片

图3系统状态以及传感器节点3的估计

Fig.3States and estimates of sensor node 3

下载: 全尺寸图片

图4估计误差协方差上界的迹以及均方误差

Fig.4Traces of the upper bounds on the estimation error covariance and the mean square error

下载: 全尺寸图片

图5传感器节点2和3向传感器节点1传输的触发时刻

Fig.5Triggering instants of transmission by sensor nodes 2 and 3 to sensor node 1

下载: 全尺寸图片

图6传感器节点1和3向传感器节点2传输的触发时刻

Fig.6Triggering instants of transmission by sensor nodes 1 and 3 to sensor 2

下载: 全尺寸图片

图7传感器节点1和2向传感器节点3传输的触发时刻

Fig.7Triggering instants of transmission by sensor nodes 1 and 2 to sensor node 3

下载: 全尺寸图片

图8不同测量丢失情况下的

\sum_{i = 1}^{3} t r \{Ψ_{i ， k | k}\}

Fig.8

\sum_{i = 1}^{3} t r \{Ψ_{i, k | k}\}

under different missing cases

下载: 全尺寸图片

图1系统状态以及传感器节点1的估计

Fig.1States and estimates of sensor node 1

图2系统状态以及传感器节点2的估计

Fig.2States and estimates of sensor node 2

图3系统状态以及传感器节点3的估计

Fig.3States and estimates of sensor node 3

图4估计误差协方差上界的迹以及均方误差

Fig.4Traces of the upper bounds on the estimation error covariance and the mean square error

图5传感器节点2和3向传感器节点1传输的触发时刻

Fig.5Triggering instants of transmission by sensor nodes 2 and 3 to sensor node 1

图6传感器节点1和3向传感器节点2传输的触发时刻

Fig.6Triggering instants of transmission by sensor nodes 1 and 3 to sensor 2

图7传感器节点1和2向传感器节点3传输的触发时刻

Fig.7Triggering instants of transmission by sensor nodes 1 and 2 to sensor node 3

图8不同测量丢失情况下的

\sum_{i = 1}^{3} t r \{Ψ_{i ， k | k}\}

Fig.8

\sum_{i = 1}^{3} t r \{Ψ_{i, k | k}\}

under different missing cases

图1系统状态以及传感器节点1的估计

Fig.1States and estimates of sensor node 1

图2系统状态以及传感器节点2的估计

Fig.2States and estimates of sensor node 2

图3系统状态以及传感器节点3的估计

Fig.3States and estimates of sensor node 3

图4估计误差协方差上界的迹以及均方误差

Fig.4Traces of the upper bounds on the estimation error covariance and the mean square error

图5传感器节点2和3向传感器节点1传输的触发时刻

Fig.5Triggering instants of transmission by sensor nodes 2 and 3 to sensor node 1

图6传感器节点1和3向传感器节点2传输的触发时刻

Fig.6Triggering instants of transmission by sensor nodes 1 and 3 to sensor 2

图7传感器节点1和2向传感器节点3传输的触发时刻

Fig.7Triggering instants of transmission by sensor nodes 1 and 2 to sensor node 3

图8不同测量丢失情况下的

\sum_{i = 1}^{3} t r \{Ψ_{i ， k | k}\}

Fig.8

\sum_{i = 1}^{3} t r \{Ψ_{i, k | k}\}

under different missing cases

Yick J, Mukherjee B, Ghosal D. Wireless sensor network survey[J]. Computer Networks,2008,52(12):2292-2330

Das J C, De D, Mondal S P,et al. QCA based error detection circuit for nano communication network[J]. IEEE Access,2019,7:67355-67366

Adeli M, Hajatipour M, Yazdanpanah M J,et al. Distributed trust-based unscented Kalman filter for non-linear state estimation under cyber-attacks:the application of manoeuvring target tracking over wireless sensor networks[J]. IET Control Theory & Applications,2021,15(15):1987-1998

Chen B, Zhang W A, Yu L. Distributed finite-horizon fusion Kalman filtering for bandwidth and energy constrained wireless sensor networks[J]. IEEE Transactions on Signal Processing,2014,62(4):797-812

Feng J X, Wang Z D, Zeng M. Distributed weighted robust Kalman filter fusion for uncertain systems with autocorrelated and cross-correlated noises[J]. Information Fusion,2013,14(1):78-86

Ding D R, Wang Z D, Ho D W C,et al. Distributed recursive filtering for stochastic systems under uniform quantizations and deception attacks through sensor networks[J]. Automatica,2017,78:231-240

Dragan V. Optimal filtering for discrete-time linear systems with multiplicative white noise perturbations and periodic coefficients[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,2013,58(4):1029-1034

Li W L, Jia Y M, Du J P. Resilient filtering for nonlinear complex networks with multiplicative noise[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,2019,64(6):2522-2528

Ignagni M B. Separate bias Kalman estimator with bias state noise[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,1990,35(3):338-341

Hu J, Wang Z D, Liu G P. Delay compensation-based state estimation for time-varying complex networks with incomplete observations and dynamical bias[J]. IEEE Transactions on Cybernetics,2022,52(11):12071-12083

Shen Y X, Wang Z D, Dong H L. Minimum-variance state and fault estimation for multirate systems with dynamical bias[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs,2022,69(4):2361-2365

Ge X H, Han Q L, Wang Z D. A threshold-parameter-dependent approach to designing distributed event-triggered H_∞ consensus filters over sensor networks[J]. IEEE Transactions on Cybernetics,2019,49(4):1148-1159

Liu Y, Wang Z D, Zou L,et al. Distributed filtering for complex networks under multiple event-triggered transmissions within node-wise communications[J]. IEEE Transactions on Network Science and Engineering,2022,9(4):2521-2534

王锦霞, 高金凤, 谭天. 欺骗攻击下一类神经网络的自适应事件触发H_∞滤波[J]. 南京信息工程大学学报(自然科学版),2021,13(1):102-110. WANG Jinxia, GAO Jinfeng, TAN Tian. Adaptive event-triggered H_∞ filtering for a class of discrete-time neural networks under deception attacks[J]. Journal of Nanjing University of Information Science & Technology(Natural Science Edition),2021,13(1):102-110

Yan H C, Xu X L, Zhang H,et al. Distributed event-triggered H_∞ state estimation for T-S fuzzy systems over filtering networks[J]. Journal of the Franklin Institute,2017,354(9):3760-3779

Li Q, Shen B, Wang Z D,et al. Recursive distributed filtering over sensor networks on Gilbert-Elliott channels:a dynamic event-triggered approach[J]. Automatica,2020,113:108681

Address：No. 219, Ningliu Road, Nanjing, Jiangsu Province

Postcode：210044

Phone：025-58731025