无人船集群的间歇自适应编队控制研究

doi:10.13878/j.cnki.jnuist.20240625005

无人船集群的间歇自适应编队控制研究

doi: 10.13878/j.cnki.jnuist.20240625005

刘尔亮，刘平英，苗国英

南京信息工程大学自动化学院,南京, 210044

基金项目: 国家自然科学基金(62073169) ；教育部产学合作协同育人项目(231000782270057)

详细信息

作者简介

刘尔亮,男,硕士生,研究方向为多智能体系统编队控制．202212220008@nuist.edu.cn

通讯作者

刘平英,女,硕士,讲师,研究方向为自动控制技术．lpy@nuist.edu.cn

中图分类号: U664.82;TP273

文献标识码: A

Intermittent adaptive formation control of unmanned surface vessel clusters

LIU Erliang ， LIU Pingying ， MIAO Guoying

School of Automation,Nanjing University of Information Science & Technology,Nanjing 210044 ,China

摘要

在领导者-跟随者结构下,基于间歇事件触发机制,本文研究了具有二阶动态的无人船集群的有限时间编队控制问题．借助自适应神经网络的技术,估计系统模型中的未知非线性项．为节省通信能源并加快集群系统的收敛速度,提出一种分段的间歇事件触发自适应编队控制协议．利用李雅普诺夫稳定和有限时间等理论,得到无人船集群在有限时间内快速形成编队的充分条件．最后,通过仿真实验验证了所提算法的有效性和优越性．

关键词

编队控制 / 间歇事件触发 / 自适应增益 / 有限时间

Abstract

Under the leader-follower structure,based on the intermittent event-triggered control mechanism,this paper investigates the finite-time formation control for unmanned surface vessel clusters with second-order dynamics.Firstly,unknown nonlinear items are estimated in the system model by using adaptive neural network techniques.Secondly,a novel formation control protocol is proposed based on segmented intermittent event-triggered and adaptive methods to reduce communication energy consumption while accelerating cluster convergence.Then,a sufficient condition for unmanned surface vessel clusters to rapidly form formations in finite time is obtained by using theories such as Lyapunov stabilization and finite-time.Finally,simulation examples validate the superiority and effectiveness of the algorithms proposed in the paper.

Keywords

formation control / intermittent event-triggered / adaptive gain / finite-time

0 引言 1 预备知识和问题描述 1.1 图论 1.2 相关引理 1.3 问题描述 2 控制器设计 3 仿真验证 4 结论

0 引言

近年来，无人船集群协同编队控制在海上救援、侦查、敌船拦截与围捕等领域展现出广泛的应用前景，吸引了众多学者的关注．将无人船视为具备感知和环境交互能力的智能体，对其进行集群协同编队控制研究，不仅丰富了多智能体系统协调控制的理论成果，还推动了无人船集群编队的快速发展和实际应用．

随着多智能体系统理论的完善，编队控制技术也得到显著发展．出于对系统存在外部未知扰动的考虑，余明裕等^[1]设计了一种基于固定时间的扰动观测器，同时对跟踪子系统提出固定时间滑模跟踪策略．王平等^[2]利用智能体间的信息，提出一种带有自适应增益的控制协议．Han 等^[3]基于有限时间理论，实现了二阶多智能体系统的时变编队控制．传统的领导-跟随结构仅有单个领导者，而Liao等^[4]的创新性在于研究了多领导者问题，将包含多个领导者的多智能体系统划分为多个子系统，各子系统由一个领导者和多个跟随者组成，并为子系统设计编队控制协议．上述文献成功实现了多智能体系统的编队控制，但未能充分考虑通信能源的节约问题．

为减少多智能体系统在通信资源上的浪费，学者们对事件触发控制展开了深入研究．与一般的时间触发控制不同，事件触发控制仅在触发条件满足时更新控制器，这种方式显著减少了控制器的触发次数．宁君等^[5]结合事件触发机制与滑模控制器，提出一种基于事件触发机制的有限时间控制策略，并针对船舶模型中的不确定项和航行中受到扰动的问题，设计了一个扩张状态观测器．Zhang 等^[6]在直角坐标系下建立了一种领导-跟随结构的船舰编队模型，并利用事件触发与神经网络技术，设计了一种事件触发鲁棒神经控制策略．

有学者在事件触发机制的基础上提出了间歇事件触发机制，以进一步节约通信资源．例如:Hu 等^[7]将事件触发控制与间歇控制相结合，提出一种间歇事件触发协议，并证明了多智能体系统的一致性; Zhang等^[8]以一般的线性多智能体系统为研究对象，设计了一种分布式间歇动态事件触发自适应方案，只有在满足触发条件时，智能体间才会进行一次数据更新; Lei等^[9]针对异构多智能体系统的间歇事件触发控制，设计了一种分布式间歇事件触发协议．目前，大多数间歇事件触发控制方法尚未考虑系统收敛速度的问题．另外，在二阶多智能体系统的编队控制问题中，间歇事件触发机制的应用相对较少．为解决无人船集群系统编队过程中通信资源的浪费和收敛速度问题，本文设计了一种混合间歇事件触发的有限时间控制策略．该控制策略不仅能有效减少控制器的触发次数，还能加快编队的形成速度．通过李雅普诺夫稳定性理论与有限时间理论等，证明了无人船集群系统在给定的充分条件下能够快速完成编队控制．

本文的创新点如下:

1）基于间歇事件触发方法，提出一种新的混合间歇事件触发编队控制协议，可以有效减少控制器的触发次数;

2）为加快编队形成速度并抑制系统中未知非线性项，引入符号函数和自适应增益，并给出在有限时间内实现无人船集群编队控制的充分条件，以及有限时间的上界．

1 预备知识和问题描述

1.1 图论

假设存在一个有向图G={Λ，E，A}，其中，Λ表示n个无人船节点的集合，E表示边的集合，A=[a_ij]∈Rⁿ^×ⁿ是邻接矩阵，a_ij＞0表示节点i到节点j有一条有向路径，a_ij=0表示节点i到节点j无有向路径．矩阵L是图G的拉普拉斯矩阵．令B=diag{b₁，b₂，···，b_n}，当节点i能够接收到领导者的状态信息时，b_i＞0，否则b_i=0．假设至少有一个智能体可以接收到领导者的信息．令

\bar{L} = L + B

．

1.2 相关引理

引理1^[10] 若领导者节点到其他跟随者节点都存在有向路径，则存在以领导者节点为根的有向生成树．故-

\bar{L}

为Hurwitz矩阵，且存在正定对角矩阵H=diag{h₁，h₂，···，h_n}，使得

H \bar{L} + {\bar{L}}^{T} H

为正定矩阵．记

M = H \bar{L} + {\bar{L}}^{T} H

．

引理2^[11] 若存在x_i∈Rⁿ和常数μ，且0＜μ≤1，则

{(\overset{n}{\underset{i = 1}{Σ}} |x_{i}|)}^{μ} ⩽ \overset{n}{\underset{i = 1}{Σ}} {|x_{i}|}^{μ}

．

1.3 问题描述

受到文献^[12]的启发，本文考虑三自由度下的无人船模型，则第i个无人船的运动模型表示为

\{\begin{matrix} {\dot{η}}_{i} = v_{i}, \\ {\dot{v}}_{i} = f_{i} (t) + u_{1 i} (t), \\ {\dot{φ}}_{i} = u_{2 i} (t) . \end{matrix}

(1)

式中:

η_{i} = {[x_{i}^{T} ， y_{i}^{T}]}^{T}

表示无人船的位置向量，且x_i，y_i∈R²; v_i表示无人船的速度向量，且v_xi，v_yi∈R²; φ_i表示无人船航向角; u₁_i（t）∈R²表示无人船前进方向的控制输入; u₂_i（t）∈R²表示无人船的航向角的控制输入; 非线性项

- {\bar{R}}_{i} {\bar{D}}_{i} w_{i} - {\bar{R}}_{i} {\bar{C}}_{i} {\bar{R}}_{i}^{T} v_{i}

．

其中:

{\bar{R}}_{i} = [\begin{matrix} c o s (φ_{i}) & - s i n (φ_{i}) \\ s i n (φ_{i}) & c o s (φ_{i}) \end{matrix}];

{\bar{C}}_{i} = \frac{1}{m_{i 11} m_{i 33} - m_{i 23} m_{i 33}} [\begin{matrix} d_{i 11} m_{i 11} m_{i 33} & - m_{i 23} d_{i 22} \\ - m_{i 23} d_{i 11} + m_{i 23} c_{i 13} & m_{i 22} d_{i 22} \end{matrix}];

{\bar{D}}_{i} = \frac{1}{m_{i 11} m_{i 33} - m_{i 23} m_{i 33}} [\begin{matrix} m_{i 11} m_{i 33} c_{i 13} - m_{i 23} (c_{i 23} + d_{i 23}) \\ m_{i 22} (c_{i 23} + d_{i 23}) - m_{i 22} d_{i 33} \end{matrix}];

w_i表示角速度; d_i₁₁，d_i₂₂，d_i₂₃，d_i₃₃为水动力阻尼矩阵参数; m_i₁₁，m_i₂₂，m_i₂₃，m_i₃₃为惯性矩阵参数; c_i₁₃，c_i₂₃为科里奥利力与向心力矩阵参数．

文中假设非线性项f_i（t）是未知的，且所有无人船均不考虑外界扰动以及系统的不确定因素．

领导者的运动模型为

\{\begin{matrix} {\dot{r}}_{0} = v_{0}, \\ {\dot{v}}_{0} = u_{10} (t), \\ {\dot{φ}}_{0} = u_{20} (t) . \end{matrix}

(2)

式中:η₀，v₀，u₁₀，u₂₀与跟随者维数相同，u₁₀，u₂₀是领导者的控制输入，且令u₂₀=0．

定义1^[13] 对于任意初始状态，若存在控制器u₁_i（t），u₂_i（t）使得式（3）成立，则无人船集群系统式（1）、（2）能够形成期望队形．

\{\begin{matrix} \underset{t \to \infty}{l i m} ‖η_{i} (t) - η_{0} (t) - l_{i}‖ = 0, \\ \underset{t \to \infty}{l i m} ‖v_{i} (t) - v_{0} (t)‖ = 0, \\ \underset{t \to \infty}{l i m} ‖φ_{i} (t) - φ_{0} (t)‖ = 0 . \end{matrix}

(3)

式中:l_i表示第i个跟随者与领导者之间的相对位置向量．

2 控制器设计

注意到文献^[12]中，控制器设计仅考虑事件触发机制，忽略了系统的收敛速度．然而，实际系统不仅对收敛速度有要求，还要考虑到系统能量的合理利用．为进一步节约系统的通信能源消耗，同时加快收敛速度，本文提出新的控制协议．先定义编队误差:

\{\begin{matrix} {\tilde{η}}_{i} = η_{i} (t) - η_{0} (t) - l_{i} \\ {\tilde{v}}_{i} = v_{i} - v_{0} \\ {\tilde{φ}}_{i} = φ_{i} - φ_{0} \end{matrix}

(4)

根据式（1）、（2）及式（4），可得到误差动态方程如下:

\{\begin{matrix} \dot{\tilde{η}} (t) = \tilde{v} (t) \\ \dot{\tilde{v}} (t) = F (t) + u_{1} (t) - {\bar{u}}_{10} (t), \\ \tilde{φ} (t) = u_{2} (t) - {\bar{u}}_{20} (t) . \end{matrix}

(5)

式中:

\tilde{η} （ t ） = {[{\tilde{η}}_{1}^{T} （ t ） ， {\tilde{η}}_{2}^{T} （ t ） ， \dots ， {\tilde{η}}_{n}^{T} （ t ）]}^{T}

;

\tilde{v} （ t ） = {[{\tilde{v}}_{1}^{T} （ t ） ， {\tilde{v}}_{2}^{T} （ t ） ， \dots ， {\tilde{v}}_{n}^{T} （ t ）]}^{T}

;

u_{1} （ t ） = [u_{11}^{T} （ t ） ， u_{12}^{T} （ t ） ， {\dots ， u_{1 n}^{T} （ t ）]}^{T}

;

u_{2} （ t ） = {[u_{21}^{T} （ t ） ， u_{22}^{T} （ t ） ， \dots ， u_{2 n}^{T} （ t ）]}^{T}

;

{\bar{u}}_{10} （ t ） = {[u_{10}^{T} （ t ） ， u_{10}^{T} （ t ） ， \dots ， u_{10}^{T} （ t ）]}^{T}

;

{\bar{u}}_{20} （ t ） = {[u_{20}^{T} （ t ） ， u_{20}^{T} （ t ） ， \dots ， u_{20}^{T} （ t ）]}^{T}

;

F （ t ） = [f_{1}^{T} （ t ） ， f_{2}^{T} （ t ） ， {\dots ， f_{n}^{T} （ t ）]}^{T}

．

对于系统（1）中的未知项f_i（t），采用一个自适应神经网络^[14]对其进行逼近:

f_{i} (t) = σ_{i} (t) W + θ_{i} (t)

(6)

式中:σ_i（t）是神经网络的激活函数; W是理想权值; θ_i（t）是逼近误差．相对应的f_i（t）的估计项

{\hat{f}}_{i} （ t ）

为

{\hat{f}}_{i} (t) = σ_{i} (t) \hat{W}

(7)

式中:

\hat{W}

是理想权值W的估计．自适应神经网络权值更新率被设计为

\dot{\hat{W}} = σ^{T} (t) Q (\tilde{η} (t) + \tilde{v} (t)) - β_{5} s i g (\tilde{W})

(8)

式中:

σ （ t ） = {[σ_{1}^{T} （ t ） ， σ_{2}^{T} （ t ） ， \dots ， σ_{n}^{T} （ t ）]}^{T}

，且

‖ σ （ t ） ‖ < σ_{N}; \tilde{W} = W - \hat{W}

．

为了减少能量消耗，加快收敛速度，本文提出基于间歇事件触发的有限时间控制协议，并且为抑制非线性项加入自适应增益项．混合间歇事件触发控制把系统的整个工作时间分为带事件触发的时间区间[T_k，h_k）、无事件触发的时间区间[h_k，s_k）、无控制的时间区间[s_k，T_k₊₁），其中，k∈N．控制协议如下所示:

(9)

(10)

(11)

式中:β₁，β₂，β₃，β₄均是正数;

{\tilde{η}}_{i} (t_{i}^{k}) ， {\tilde{v}}_{i} (t_{i}^{k}) ， {\tilde{φ}}_{i} (t_{i}^{k})

分别表示在第i个无人船在

t_{i}^{k}

时刻的位置、速度和航向角; Q=diag{q₁，q₂，···，q_n}，且q_i＞0．定义如下的事件触发误差:

\{\begin{matrix} e_{1 i} = {\tilde{η}}_{i} (t_{i}^{k}) - {\tilde{η}}_{i} (t), \\ e_{2 i} = {\tilde{v}}_{i} (t_{i}^{k}) - {\tilde{v}}_{i} (t), \\ e_{3 i} = φ_{i} (t_{i}^{k}) - φ_{i} (t) . \end{matrix}

假设1 u₁₀（t）＞θ_i（t），且存在一个正数g，使得‖u₁₀（t）‖＜g．

本文提出事件触发函数如下:

\begin{matrix} F_{e} = 2 v^{T} Q v + 2 {\tilde{η}}^{T} Q \tilde{v} - 2 \hat{α} (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (\bar{L} \otimes I_{2}) e_{1} - \\ \hat{α} (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (\bar{L} \otimes I_{2}) e_{2} - 2 {\tilde{φ}}^{T} \bar{L} e_{3} . \end{matrix}

(12)

定理1 对于无人船集群系统（1）和（2），若满足假设1和式（12）且如下条件成立，则控制协议（9）—（11）使得系统（1）和（2）在有限时间完成编队控制．

\frac{\begin{matrix} ‖ \tilde{W} ‖ > \\ λ_{m a x} (Q) (‖σ_{N}‖ ‖ \hat{W} ‖ + ‖ \tilde{v} ‖) (‖ \tilde{η} ‖ + ‖ \tilde{v} ‖) \end{matrix}}{2 β_{4}} .

(13)

式中:λ_max（·）表示·的最大特征值．有限时间上界为

T_{t} ⩽ \frac{2 V （ 0 ）^{\frac{1}{2}} - ρ_{1} ϕ_{1} - ρ_{2} ϕ_{2} + ρ_{2} h_{k}}{ρ_{2}}

．

证明考虑如下的李雅普诺夫函数:

\begin{matrix} V (t) = {\tilde{η}}^{T} Q \tilde{η} + v^{T} Q v + 2 {\tilde{η}}^{T} Q \tilde{v} + \\ \frac{\overset{n}{\underset{i = 1}{Σ}} {(α_{i} (t) - \hat{α})}^{2}}{2} + φ^{T} φ + {\tilde{W}}^{T} \tilde{W} . \end{matrix}

当t∈[T_k，h_k）时，对V（t）求导得:

\begin{matrix} \dot{V} (t) = 2 v^{T} Q v + 2 {\tilde{η}}^{T} Q \tilde{v} + 2 (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q F (t) + \\ 2 (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (u_{1} (t) - {\bar{u}}_{10} (t)) + 2 {\tilde{W}}^{T} \dot{\tilde{W}} + \\ \overset{n}{\underset{i = 1}{Σ}} (α_{i} (t) - α) {\dot{α}}_{i} (t) + 2 φ^{T} u_{2} (t) . \end{matrix}

(14)

根据式（6）和（9）可得:s

2 (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (F + u_{1}) = - J_{1} - J_{2} - J_{3} .

(15)

式中:

J_{1} = \overset{n}{\underset{i = 1}{Σ}} α_{i} 2 {(q_{i} ({\tilde{η}}_{i} + {\tilde{v}}_{i}))}^{T} ξ_{i} ， ξ_{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} ({\tilde{η}}_{i} (t_{i}^{k}) - {\tilde{η}}_{j} (t_{j}^{k}) + {\tilde{v}}_{i} (t_{i}^{k}) - {\tilde{v}}_{j} (t_{j}^{k})) + b_{i} ({\tilde{η}}_{i} (t_{i}^{k}) + {\tilde{v}}_{i} (t_{i}^{k})); J_{2} = 2 （ \tilde{η} + \tilde{v} ）^{T} Q θ + 2 （ \tilde{η} + \tilde{v} ）^{T} Q σ （ W - \hat{W} ）; J_{3} = β_{1} 2 （ \tilde{η} + \tilde{v} ）^{T} Q s i g (\tilde{η} + \tilde{v}) .

根据式（8）和（10）可得:

2 {\tilde{φ}}^{T} u_{2} (t) + 2 {\tilde{W}}^{T} \dot{\tilde{W}} = τ_{1} + τ_{2} .

(16)

式中:

τ_{1} = 2 {\tilde{φ}}^{T} (- \bar{L} (e_{3} + s a t （ \tilde{φ} ）)) - 2 β_{3} {\tilde{φ}}^{T} s i g （ \tilde{φ} ）; τ_{2} = 2 {\tilde{W}}^{T} (- σ^{T} （ t ） Q （ \tilde{η} （ t ） + \tilde{v} （ t ） ） - β_{5} s i g （ \tilde{W} ）)

．

将式（15）和（16）代入（14）中，可得:

\begin{matrix} \dot{V} (t) = ω_{1} - J_{2} + τ_{1} + 2 (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} (θ - {\bar{u}}_{10} (t)) - \\ 2 {\tilde{W}}^{T} β_{5} s i g (\tilde{W}) + \overset{n}{\underset{i = 1}{Σ}} (α_{i} (t) - \hat{α}) {\dot{α}}_{i} (t) - J_{3} . \end{matrix}

其中:

ω_{1} = 2 v^{T} Q v + 2 {\tilde{η}}^{T} Q \tilde{v}

．根据假设1和式（11）可得:

\begin{matrix} \dot{V} (t) ⩽ ω_{1} - J_{1} + τ_{1} - 2 β_{1} (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q s i g (\tilde{η} + \tilde{v}) - \\ 2 {\tilde{W}}^{T} β_{5} s i g (\tilde{W}) . \end{matrix}

(17)

又根据引理1和不等式

- {\tilde{φ}}^{T} s a t （ \tilde{φ} ） ⩽ - s a t ({\tilde{φ}}^{T}) s a t （ \tilde{φ} ）

，可得:

\begin{matrix} \dot{V} (t) ⩽ ω_{1} - \hat{α} (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} M (\tilde{η} + \tilde{v}) - 2 s a t ({\tilde{φ}}^{T}) \bar{L} s a t (\tilde{φ}) - \\ γ_{1} - γ_{2} ⩽ ω_{1} - γ_{1} - γ_{2} . \end{matrix}

其中:

γ_{1} = 2 β_{1} （ \tilde{η} + \tilde{v} ）^{T} Q s i g （ \tilde{η} + \tilde{v} ） + 2 β_{3} {\tilde{φ}}^{T} s i g （ \tilde{φ} ） + 2 {\tilde{W}}^{T} β_{5} s i g （ \tilde{W} ）; γ_{2} = 2 \hat{α} （ \tilde{η} + \tilde{v} ）^{T} Q (\bar{L} \otimes I_{2}) (e_{1} + e_{2}) + 2 {\tilde{φ}}^{T} \bar{L} e_{3}

．

由于式（12）迫使F_e＜0成立，可得:

\begin{matrix} \dot{V} (t) ⩽ - 2 β_{1} (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q s i g (\tilde{η} + \tilde{v})) - \\ 2 β_{3} {\tilde{φ}}^{T} s i g (\tilde{φ}) - 2 \tilde{W} β_{5} s i g (\tilde{W}) ⩽ - 2 β_{1} \frac{λ_{min} (Q)}{‖ Q ‖} ((\tilde{η} + \\ {\tilde{v})^{T} Q (\tilde{η} + \tilde{v}))}^{\frac{1}{2}} - 2 β_{3} {({\tilde{φ}}^{T} \tilde{φ})}^{\frac{1}{2}} - 2 β_{5} {({\tilde{W}}^{T} \tilde{W})}^{\frac{1}{2}} ⩽ \\ - ρ_{1} {((\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (\tilde{η} + \tilde{v}))}^{\frac{1}{2}} + {({\tilde{φ}}^{T} φ)}^{\frac{1}{2}} + {({\tilde{W}}^{T} \tilde{W})}^{\frac{1}{2}}) . \end{matrix}

(18)

式中:

ρ_{1} = m i n \{2 β_{1} \frac{λ_{m i n} （ Q ）}{‖ Q ‖} ， 2 β_{3} ， 2 β_{5}\}

; λ_min（·）表示·的最小特征值．根据引理2，式（18）进一步变为

\begin{matrix} \dot{V} (t) ⩽ - ρ_{1} {(V (t) - \frac{\overset{n}{\underset{i = 1}{Σ}} {(α_{i} (t) - \hat{α})}^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}} ⩽ \\ - ρ_{1} (V (t))^{\frac{1}{2}} . \end{matrix}

当t∈[h_k，s_k），对V（t）求导得:

\begin{matrix} \dot{V} (t) = 2 v^{T} Q v + 2 {\tilde{η}}^{T} Q \tilde{v} + 2 φ^{T} u_{2} (t) + 2 {\tilde{W}}^{T} \dot{\tilde{W}} + \\ 2 (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (F (t) + u_{1} (t) - {\bar{u}}_{10} (t)) . \end{matrix}

(19)

将式（6）、（8）—（10）分别代入式（19），进一步得到:

\begin{matrix} \dot{V} (t) = ω_{1} + 2 (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (θ - {\bar{u}}_{10} (t)) - \\ δ_{1} - 2 (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (\tilde{η} + \tilde{v}) ⩽ \\ - 2 {\tilde{η}}^{T} Q \tilde{v} - 2 {\tilde{η}}^{T} Q \tilde{η} - 2 β_{5} {({\tilde{W}}^{T} \tilde{W})}^{\frac{1}{2}} - \\ 2 β_{2} \frac{λ_{min} (Q)}{‖ Q ‖} {((\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (\tilde{η} + \tilde{v}))}^{\frac{1}{2}} + \\ 2 β_{4} {({\tilde{φ}}^{T} \tilde{φ})}^{\frac{1}{2}} ⩽ - ρ_{2} {((\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (\tilde{η} + \tilde{v}))}^{\frac{1}{2}} + \\ {({\tilde{φ}}^{T} \tilde{φ})}^{\frac{1}{2}} + {({\tilde{W}}^{T} \tilde{W})}^{\frac{1}{2}}) . \end{matrix}

(20)

式中:

δ_{1} = 2 β_{2} （ \tilde{η} + \tilde{v} ）^{T} Q s i g （ \tilde{η} + \tilde{v} ） - 2 β_{4} {\tilde{φ}}^{T} s i g （ \tilde{φ} ） - 2 {\tilde{W}}^{T} β_{5} s i g （ \tilde{W} ）; ρ_{2} = m i n \{2 β_{2} \frac{λ_{min} （ Q ）}{‖ Q ‖} ， 2 β_{4} ， 2 β_{5}\}

．根据引理2和式（20），可得:

\begin{matrix} \dot{V} (t) ⩽ - ρ_{2} ({\tilde{η}}^{T} Q \tilde{η} + v^{T} Q v + 2 {\tilde{η}}^{T} Q \tilde{v} + φ^{T} φ + \\ {{\tilde{W}}^{T} \tilde{W})}^{\frac{1}{2}} ⩽ - ρ_{2} (V (t))^{\frac{1}{2}} . \end{matrix}

当t∈[s_k，T_k₊₁）时，对V（t）求导得:

\begin{matrix} \dot{V} (t) = ω_{1} + 2 (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (u_{1} (t) - u_{10} (t)) + \\ 2 (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q F (t) + 2 φ^{T} u_{2} (t) + 2 {\tilde{W}}^{T} \dot{\vec{W}} = \\ ω_{1} + 2 (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q σ W - 2 β_{5} {\tilde{W}}_{s i g} (\tilde{W}) - \\ 2 (W - \hat{W})^{T} σ^{T} (t) Q (\tilde{η} (t) + \tilde{v} (t)) + \\ 2 (\tilde{η} + \tilde{v})^{T} Q (θ - u_{10} (t)) ⩽ λ_{m a x} (Q) (‖σ_{N}‖ ‖ \hat{W} ‖ + \\ ‖ \tilde{v} ‖) (‖ \tilde{η} ‖ + ‖ \tilde{v} ‖) - 2 β_{5} ‖ \tilde{W} ‖ . \end{matrix}

(21)

当式（13）成立时，代入（21）可得:

\dot{V} (t) < 0 .

综上，当t∈[T₀，h₀）时（T₀=0），

V (t)^{\frac{1}{2}} < V (0)^{\frac{1}{2}} - \frac{ρ_{1}}{2} (t - T_{0});

当t∈[h₀，s₀）时，

V (t)^{\frac{1}{2}} < V (0)^{\frac{1}{2}} - \frac{ρ_{1}}{2} (h_{0} - T_{0}) - \frac{ρ_{2}}{2} (t - h_{0});

当t∈[s₀，T₁）时，

V (t)^{\frac{1}{2}} < V (0)^{\frac{1}{2}} - \frac{ρ_{1}}{2} (h_{0} - T_{0}) - \frac{ρ_{2}}{2} (s_{0} - h_{0}) .

重复以上过程，当t∈[T_k，T_k₊₁）时，可得:

V (t)^{\frac{1}{2}} < V (0)^{\frac{1}{2}} - \frac{ρ_{2}}{2} ϕ_{1} - \frac{ρ_{1}}{2} ϕ_{2} - \frac{ρ_{1}}{2} t + \frac{ρ_{1}}{2} h_{k} .

其中:φ₁=（s₀-h₀）+（s₁-h₁）+···+（s_k_-1-h_k_-1）; φ₂=（h₀-T₀）+（h₁-T₁）+···+（h_k_-1-T_h_-1）+（h_k-T_k）．

当

t ⩽ T_{t} = \frac{2 V （ 0 ）^{\frac{1}{2}} - ρ_{1} ϕ_{1} - ρ_{2} ϕ_{2} + ρ_{2} h_{k}}{ρ_{2}}

时，

\underset{t \to T_{t}}{l i m} V （ t ）^{\frac{1}{2}} = 0

，误差系统（5）能够收敛，根据定义1，可得无人船集群系统（1）和（2）能够完成编队控制．定理1得证．

需要注意的是，在事件触发机制中，如何排除芝诺现象是必须考虑的问题．文献^[15]中提供了类似的证明方法．因此，本文对此不再进行证明．

3 仿真验证

为证明所提出控制协议的有效性和优越性，考虑4个无人船组成的编队系统．图1所示是无人船集群系统（1）和（2）的通信拓扑结构，其中，0表示领导者，1、2、3表示跟随者．

图1无人船集群系统（1）和（2）通信拓扑结构

Fig.1Communication topology for unmanned surface vessel cluster systems (1) and (2)

由图1的拓扑结构可知，邻接矩阵A和拉普拉斯矩阵L分别为A=

，L=

，并且正定对角矩阵Q取维数相容的单位矩阵．

3艘跟随者无人船的初始位置、初始速度以及初始的航向角分别为

η_{i = 1，2 ， 3} = [2，2]^{T}

，v_i_=1，2，3=[0，0]^T，φ_i_=1，2，3=0．而领导者的初始位置、初始速度、航向角分别为

η_{0} = [0，2]^{T} ， v_{0} = [0，0]^{T} ， φ_{0} = \frac{π}{8}

，且领导者控制输入为u₁₀（t）=[-0.15cos（0.1t），0.25sin（0.2t）]^T．无人船中的参数采用文献^[16]中的相关参数．自适应神经网络的激活函数选用文献^[15]中的高斯函数:

σ_{i} （ \tilde{ω} ） = e x p (- \frac{{‖\tilde{ω} - c_{i}‖}^{2}}{2 b_{i}^{2}})

，其中:b=10;

由定理1可知，在控制协议（9）和（10）的控制下，无人船集群系统（1）和（2）可以快速完成编队控制．图2—4为无人船集群系统的编队误差变化曲线．图2显示系统在5 s内位置误差收敛到0; 图3显示系统在4~5 s内速度收敛到0; 图4显示系统在5 s左右时航向角误差收敛到0．由定理1中的有限时间的上界，计算得出收敛时间为5.19 s，与仿真结果基本一致．图5给出了无人船集群系统从初始位置到达期望队形的编队过程，可以看出最终形成的队符合图1的拓扑结构，这也说明了本文所提算法的有效性．

图2无人船集群系统的位置误差

Fig.2Position error of unmanned surface vessel cluster systems

与文献^[12]中的控制算法进行比较，以进一步展示本文控制算法的优越性．在其他对应条件不变的情况下，图6—8为文献^[12]中无人船集群系统的编队误差，可以明显发现，其误差收敛时间在18 s左右，远大于本文的收敛时间．

对于式（13）所提出的事件触发函数，图9表示10 s内相邻两次触发时刻的时间间隔，可以看出在间歇事件触发机制下，状态的触发次数比较少．

图3无人船集群系统的速度误差

Fig.3Velocity error of unmanned surface vessel cluster systems

图4无人船集群系统的航向角误差

Fig.4Steering angle error of unmanned surface vessel cluster systems

图5无人船的队形形成过程

Fig.5Processes of unmanned surface vessels forming a formation

图6对比文献^[12]的位置误差

Fig.6Comparison with position errors in Ref.^[12]

图7对比文献^[12]的速度误差

Fig.7Comparison with velocity errors in Ref.^[12]

图8对比文献^[12]的航向角误差

Fig.8Comparison with steering angle errors in Ref.^[12]

图10描述了自适应增益式（11）的变化轨迹，可以看出自适应增益α₁（t）、α₂（t）、α₃（t）在1.5 s左右收敛到固定值．

图9事件触发间隔序列

Fig.9Event-triggered interval sequence

图10自适应增益变化轨迹

Fig.10Adaptive gain change trajectories

4 结论

本文考虑无人船集群系统式（1）、（2），并定义编队误差系统式（5），研究了多无人船快速编队控制．使用自适应神经网络式（6）和（8），对系统中的未知项进行逼近．设计了在间歇事件触发下带有自适应增益的有限时间控制协议式（9）和式（10）、事件触发函数式（13）．通过李雅普诺夫理论和图论等，证明了误差系统式（5）在有限时间内完成收敛，即系统式（1）能够快速完成编队控制，达到期望队形．最终通过仿真和对比仿真，验证了本文所设计控制协议的优越性．在未来的研究中，将考虑在海浪、海风等扰动存在的恶劣环境下实现多无人船的编队控制．

图1无人船集群系统（1）和（2）通信拓扑结构

Fig.1Communication topology for unmanned surface vessel cluster systems (1) and (2)

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图2无人船集群系统的位置误差

Fig.2Position error of unmanned surface vessel cluster systems

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图3无人船集群系统的速度误差

Fig.3Velocity error of unmanned surface vessel cluster systems

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图4无人船集群系统的航向角误差

Fig.4Steering angle error of unmanned surface vessel cluster systems

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图5无人船的队形形成过程

Fig.5Processes of unmanned surface vessels forming a formation

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图6对比文献^[12]的位置误差

Fig.6Comparison with position errors in Ref.^[12]

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图7对比文献^[12]的速度误差

Fig.7Comparison with velocity errors in Ref.^[12]

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图8对比文献^[12]的航向角误差

Fig.8Comparison with steering angle errors in Ref.^[12]

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图9事件触发间隔序列

Fig.9Event-triggered interval sequence

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图10自适应增益变化轨迹

Fig.10Adaptive gain change trajectories

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图1无人船集群系统（1）和（2）通信拓扑结构

Fig.1Communication topology for unmanned surface vessel cluster systems (1) and (2)

图2无人船集群系统的位置误差

Fig.2Position error of unmanned surface vessel cluster systems

图3无人船集群系统的速度误差

Fig.3Velocity error of unmanned surface vessel cluster systems

图4无人船集群系统的航向角误差

Fig.4Steering angle error of unmanned surface vessel cluster systems

图5无人船的队形形成过程

Fig.5Processes of unmanned surface vessels forming a formation

图6对比文献^[12]的位置误差

Fig.6Comparison with position errors in Ref.^[12]

图7对比文献^[12]的速度误差

Fig.7Comparison with velocity errors in Ref.^[12]

图8对比文献^[12]的航向角误差

Fig.8Comparison with steering angle errors in Ref.^[12]

图9事件触发间隔序列

Fig.9Event-triggered interval sequence

图10自适应增益变化轨迹

Fig.10Adaptive gain change trajectories

图1无人船集群系统（1）和（2）通信拓扑结构

Fig.1Communication topology for unmanned surface vessel cluster systems (1) and (2)

图2无人船集群系统的位置误差

Fig.2Position error of unmanned surface vessel cluster systems

图3无人船集群系统的速度误差

Fig.3Velocity error of unmanned surface vessel cluster systems

图4无人船集群系统的航向角误差

Fig.4Steering angle error of unmanned surface vessel cluster systems

图5无人船的队形形成过程

Fig.5Processes of unmanned surface vessels forming a formation

图6对比文献^[12]的位置误差

Fig.6Comparison with position errors in Ref.^[12]

图7对比文献^[12]的速度误差

Fig.7Comparison with velocity errors in Ref.^[12]

图8对比文献^[12]的航向角误差

Fig.8Comparison with steering angle errors in Ref.^[12]

图9事件触发间隔序列

Fig.9Event-triggered interval sequence

图10自适应增益变化轨迹

Fig.10Adaptive gain change trajectories

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