0 引言

气候变暖、环境恶化与人类能源需求增加之间的矛盾是一个全球性的难题，而排放过量的二氧化碳等温室气体是造成矛盾的主要原因^[1].各国政府与相关组织比以往任何时候更加注重环境保护，并出台了一系列低碳政策来控制工业生产的碳排放问题^[2].在各种低碳政策中，碳税、碳交易政策和碳限额政策最为有效^[3].与此同时，低碳企业重点关注碳减排，控制整个供应链中生产和销售以及回收过程的碳排放量，实现供应链的低碳化.供应链企业协同减排成为贯彻绿色发展理念的重要举措^[4].比如：在奢侈品行业，开云集团（Kering集团）正专注于可持续发展，并努力将其发展为企业的核心能力；某些制造企业通过开发更低碳环保的产品，带动供应链上下游的节能减排（比如：华为）.消费者在购买产品时会倾向于选择有良好企业社会责任（Corporate Social Responsibility，CSR）角色的企业^[5].通过政府监督、企业培育绿色消费市场和承担CSR等方法实现供应链协调，可以达到碳排放总量管控和优化市场资源配置的目的^[6].在政府实施碳税政策时，如何通过企业同时承担碳减排（Carbon Emission Reduction，CER）责任和CSR实现供应链协调，提高供应链总效用是一个值得研究的问题.

目前，已经有很多学者开展低碳供应链的相关研究.Du等^[7]考虑了排放依赖的供应链，发现供应链成员合作能提升利润并降低碳排放量.夏良杰等^[8]探索竞争零售商模型中低碳供应链推广决策问题以及成本信息共享问题.Wesseh等^[9]指出实施碳税政策大约可以减少62.5%的排放量，电力部门也可从中获利.夏良杰等^[10]研究了强制碳减排规制对低碳供应链的影响，并设计了新的利润分享契约进行协调.李新军等^[11]研究了政府激励下汽车制造业进行低碳供应链管理时的决策问题.王君等^[12]研究了碳税政策对二级供应链中成员的行为选择的影响.张福安等^[13]研究了不同碳补贴情景下多元需求闭环供应链的减排决策模型.方国昌等^[14]基于系统动力学理论构建了政企碳减排演化博弈模型.相比于其他政策，碳税政策更加直接有效，也得到了更多的关注.

现有的大部分研究仅考虑经济责任和社会责任或仅考虑经济责任和环境效益，很少有学者同时考虑三重责任.英国学者约翰·埃尔金顿最早提出“三重底线”，认为可持续发展的核心在于坚持三重底线，即企业利润、环境效益、社会责任的统一^[15].一些学者研究了三重底线概念的应用.Gimenez等^[16]发现装配行业内部环境规划对环境、社会和经济绩效有正向影响，装配行业的项目也对社会和环境绩效有正向影响.Bergenwall等^[17]从三重底线跨学科的角度研究了不同的丰田生产系统流程设计对美国汽车制造商的影响.Lai 等^[18]发现逆向物流的回收、再利用具有经济效益和环境效益.有些学者基于三重底线构建了环境效率评价模型或环境效率指数.Devika 等^[19]建立了基于三重底线概念的通用多目标优化模型.Sarkis等^[20]提出一种利用三重底线的不同维度来有效识别和选择供应商的方法.Martins等^[21]在多期规划框架内重新设计了现有的多层次粮食援助供应链网络.有的学者研究了三重底线下的绿色供应链优化问题.Biswas等^[22]研究了一个供应链成员承担绿色投入，另一个供应链成员承担企业社会责任的情况.林志炳等^[23]研究了零售商CSR对政府补贴和供应链减排的影响，并设计了契约对供应链进行协调.然而，目前还没有学者研究低碳供应链中成员同时承担CER责任和CSR的情形.

很多学者设计契约来协调供应链，缓解分散式决策中的“双重边际效应”.Cachon^[24]指出企业是基于自身利润最大化来做决策的，供应链成员与整个供应链之间存在利益冲突，契约可以缓解此冲突.两部定价契约是指产品在销售时分为两部分进行定价，一部分是向零售商收取的固定费用，另一部分是与销售量相关的可变成本^[1].比如，品牌商想要进入沃尔玛等销售渠道时，除了批发价格之外，还需要额外缴纳场地使用费等^[25].通过两部定价契约机制，供应链可以实现纵向整合的最优结果，并实现成员间利润的任意分配.两部定价契约相对于单一价格契约更有效率，相对于数量折扣契约对制造商更有利，在理论上有较优表现^[26-27].赵海霞等^[28]建立了风险规避的供应链成员在需求不确定环境下的两部定价契约模型.本文基于碳税政策来考虑三重底线下的低碳供应链决策问题，设计两部定价契约实现供应链的完美协调与帕累托改进.

综上，现有的大部分研究仅考虑经济责任和社会责任或仅考虑经济责任和环境效益，很少有学者在供应链管理中同时考虑三重底线.也没有学者研究碳税政策对同时承担CER责任和CSR的低碳供应链运营决策的影响.此外，在低碳政策背景下设计相应契约对考虑三重底线的低碳供应链进行优化与协调是值得研究的问题.在已有研究的基础上，本文主要有如下创新：1）在模型的构建上，基于三重底线来构建供应链成员承担CER责任和CSR的集中式和分散式决策模型，研究碳税政策对承担CER责任和CSR的制造商与零售商的影响（以往大部分研究集中在承担CER责任的制造商或承担CSR的零售商）；2）在协调机制上，设计两部定价契约对四种分散式决策模型进行协调，并分别实现完美协调或帕累托改进；3）不仅分析碳税对协调前后供应链总利润的影响，而且考虑碳减排技术投资系数对协调前后供应链总利润的影响.总之，本文将三重底线引入低碳供应链，分别建立四种批发价格契约下分散式供应链模型，得到不同情境下供应链成员的最优定价策略、碳排放量以及利润情况.然后设计四种两部定价契约来实现供应链的协调或帕累托改进，为低碳企业的减排策略和契约选择提供了可靠的理论依据，使企业在满足减排要求的基础上兼顾社会责任并获取可观的利润，具有一定的现实意义.

1 问题描述与模型假设

1.1 模型描述

本文考虑由政府、一个低碳制造商和一个零售商构成的二级低碳供应链.制造商生产低碳产品并将产品批发给零售商，零售商将产品售卖给市场上的顾客.产品的需求由产品价格与减排量决定.为了响应政府鼓励低碳消费的号召，假设供应链成员都可以承担CER责任.比如，制造商可以投资低碳技术生产低排放量的产品，零售商可以通过投资智能仓库管理系统等软件系统减少运输或储存货物过程中的碳排放.此外，假设供应链成员在决策时会考虑CSR，即供应链成员的决策问题由一定比例的利润和CSR构成.本文涉及到的相关符号及其含义汇总如表1所示.

本文研究三重底线下二级低碳供应链的优化决策问题.考虑两种供应链结构形式：1）集中式决策；2）分散式决策.分散式决策首先考虑批发价格契约下四种不同的分散式供应链模型（模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ和模型Ⅳ），然后考虑两部定价契约下四种不同的分散式低碳供应链模型（模型Ⅰ-LTT、模型Ⅱ-LTT、模型Ⅲ-LTT和模型Ⅳ-LTT）.

1.2 模型基本假设

本文模型有如下假设：

假设1：假设制造商和零售商是完全理性的，他们的风险偏好程度是中性的.二者均以自身的目标函数最大化为目标进行决策.

假设2：考虑由政府、一个制造商和一个零售商构成的二级供应链，制造商生产低碳产品，零售商销售低碳产品，且消费者具有低碳偏好.

假设3：只考虑供应链在一个周期内的运营状况，假设制造商的生产能力可以满足所有的市场需求，所以不考虑货物短缺的情况.

假设4：假设供应链成员承担CER责任.制造商在产品的生产过程中进行CER技术投资，零售商在产品的运输、存储和销售的过程中进行低碳投资.CER成本与碳排放量和对CER技术的投资程度有关，碳排放量越小、CER技术投资程度越大，则CER成本越高.假设企业CER技术投资成本为t（e₀-e₁）²，其中，e₀是企业的单位初始碳排放量，e₁是企业的单位碳排放量，t代表碳减排技术投资系数^[29-30].

假设5：消费者具有低碳偏好，市场上对于该产品的需求随着产品零售价格的上涨而减少，同时该产品的市场需求随着碳排放量的增加而减少.假设需求函数为q=a-bp-ke₁，其中b，k≥0，且单位产品的零售价格和碳排放量满足p，e₁≥0.其中，q表示该产品的市场需求量，b表示该产品需求的价格弹性系数，k表示企业的碳减排系数^[29-31].假设产品的供应可以满足市场需求，即q等于零售商的订购数量.

假设6：假设企业在追求利润最大化的过程中，也会关心其他利益相关者的利益，主动承担一定的社会责任，具体效用表示为消费者剩余的一部分（τ∈0，1）.τ=0时，供应链成员是完美的利润最大化者；τ=1时，供应链成员是一个完美的福利最大化者.因此，供应链成员的目标函数可以表示为μ_i=（1-τ）π_i（·）+τCSR（q），即由（1-τ）比例的利润π_i和τ比例的消费者剩余（CSR（q））构成^[22].这里企业对消费者剩余的关注代表企业对社会责任的关注.

假设7：假设制造商的碳减排成本与生产成本没有关系.

2 集中式供应链决策模型

在集中式供应链中，整个供应链可以视为一个公司，并决定最优零售价格、碳减排量.集中式供应链可以使制造商和零售商能够在没有双重边际化的情况下实现各自的目标.在传统供应链中，集中式决策对供应链整体来说是最优的，可以作为后续研究的基准模型.集中式供应链的目标函数为

式中：$\left(p-c-{\tau }_1\right)q-t{\left(e_0-e_1\right)}^2$表示供应链的利润函数；$t{\left(e_0-e_1\right)}^2$表示碳减排成本；$\frac{q^2}{2b}$为消费者剩余（在本文中代表企业社会责任）；$\frac{\tau q^2}{2b}$表示企业承担的相应CSR.将产品需求函数代入式（1），可得：

式中:p，e₁为决策变量.可以求解最优的决策变量（p，e₁），使得集中式供应链的目标函数得到最大值.首先，可得集中式供应链的目标函数关于产品零售价格p和碳减排量e₁的Hessian矩阵如下：

$\mathit{H}=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^2{\mu }_c}{\partial p^2}& \frac{{\partial }^2{\mu }_c}{\partial p\partial e_1}\\ \frac{{\partial }^2{\mu }_c}{\partial e_1\partial p}& \frac{{\partial }^2{\mu }_c}{\partial e_1^2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}b(3\tau -2)& k(2\tau -1)\\ k(2\tau -1)& \frac{\tau k^2}{b}-2t(1-\tau )\end{array}\right].$

目标函数（2）存在最大值的条件是Hessian矩阵负定，即：

1）$\frac{{\partial }^2{\mu }_c}{\partial p^2}<0\Rightarrow b（3\tau -2）<0\Rightarrow$当 b＞0时，$\tau <\frac{2}{3}$；

2）$\frac{{\partial }^2{\mu }_c}{\partial e_1^2}<0\Rightarrow \frac{\tau k^2}{b}-2t(1-\tau )<0\Rightarrow t>\frac{\tau k^2}{2b(1-\tau )}$；

3）$\left|\mathit{H}\right|>0\Rightarrow -k^2(1-\tau {)}^2-2tb(1-\tau )\times (3\tau -2)>0\Rightarrow t>\frac{k^2(1-\tau )}{2b(2-3\tau )}$.

因为$max\left(\frac{k^2（1-\tau ）}{2b（2-3\tau ）}，\frac{\tau k^2}{2b（1-\tau ）}\right)=\frac{k^2（1-\tau ）}{2b（2-3\tau ）}$，由以上条件可得，当$\tau \in \left[0，\frac{2}{3}\right)$且$t>\frac{k^2（1-\tau ）}{2b（2-3\tau ）}$时，该Hessian矩阵负定，此时目标函数存在最优解.求式（2）对p，e₁的一阶偏导数，可得：

联立式（3）—（4），可得：

$\begin{array}{c}{p}_c^{*}=c+{\tau }_1+\frac{2t(1-2\tau )N}{A},\\ e_{1c}^{*}=e_0-\frac{k(1-\tau )N}{A}.\end{array}$

将最优零售价格和最优碳排放量代入产品的需求函数，可得最优销售量为 $q_c^{*}=\frac{2tb（1-\tau ）N}{A}$.进而，可得供应链最优利润为${\pi }_c^{*}=\frac{t（1-\tau ）N^2（A-2tb\tau {）}^2}{A^2}$，供应链应承担的最优企业社会责任为

${\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{R}}_c^{*}=2b\tau {\left(\frac{tN(1-\tau )}{A}\right)}^2.$

其中：A=2tb（2-3τ）-k²（1-τ）；N=（a-bc-bτ₁-ke₀）.

根据集中式供应链目标函数的Hessian矩阵负定的条件，得到碳减排技术投资系数的下界，即CER投资程度有一个门槛，企业必须投入一定数额的资金才能获得正利润.通过对集中式供应链决策最优解的分析，得到命题1.

命题1  在集中式供应链模型中，有以下结论：

1）$q_c^{*}$和${\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{R}}_c^{*}$随着a的增加而增加；$e_{1c}^{*}$随着a的增加而减少；当 $\tau \in \left(0，\frac{1}{2}\right)$ 时，$p_c^{*}$随着a的增加而增加；当 $\tau \in \left(\frac{1}{2}，\frac{2}{3}\right)$时，$p_c^{*}$随着a的增加而减少；当 $\tau \in \left(\frac{1}{2}，\frac{2}{3}\right)$时，${\pi }_c^{*}$随着a的增加而增加；当 $\tau \in \left(0，\frac{1}{2}\right)$ 时，${\pi }_c^{*}$随着a的增加而减少.

2）$q_c^{*}$和${\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{R}}_c^{*}$随着c的增加而减少；$e_{1c}^{*}$随着c的增加而增加；当 $\tau \in \left(0，\frac{1}{2}\right)$ 时，$p_c^{*}$随着c的增加而减少；当 $\tau \in \left(\frac{1}{2}，\frac{2}{3}\right)$时，$p_c^{*}$随着c的增加而增加；当 $\tau \in \left(0，\frac{1}{2}\right)$ 时，${\pi }_c^{*}$随着c的增加而增加；当 $\tau \in \left(\frac{1}{2}，\frac{2}{3}\right)$ 时，${\pi }_c^{*}$随着c的增加而减少.

证明

1）分别求$q_c^{*}$和${\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{R}}_c^{*}$关于a的一阶偏导数，可得$\frac{\partial q_c^{*}}{\partial a}=\frac{2tb（1-\tau ）}{A}>0，\frac{\partial {\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{R}}_c^{*}}{\partial a}=\frac{2b{t}^2（1-\tau {）}^{2}N}{A^2}>0$；求$e_{1c}^{*}$关于a的一阶偏导数，可得$\frac{\partial e_{1c}^{*}}{\partial a}=-\frac{k（1-\tau ）}{A}<0$；求$p_c^{*}$关于a的一阶偏导数，可得$\frac{\partial p_c^{*}}{\partial a}=\frac{2t（1-2\tau ）}{A}$，因此，当$\tau \in \left(0，\frac{1}{2}\right)$时，$\frac{\partial p_c^{*}}{\partial a}>0$，当$\tau \in \left(\frac{1}{2}，\frac{2}{3}\right)$，$\frac{2t（1-2\tau ）}{A}<0$；求${\pi }_c^{*}$关于a的一阶偏导数，可得$\frac{\partial {\pi }_c^{*}}{\partial a}=\frac{2tN（1-\tau ）\left[4tb（1-2\tau ）-k^2（1-\tau ）\right]}{A^2}$，进而可得，当$\tau \in \left(\frac{1}{2}，\frac{2}{3}\right)$时，$\frac{\partial {\pi }_c^{*}}{\partial a}>0$，当$\tau \in \left(0，\frac{1}{2}\right)$时，$\frac{\partial {\pi }_c^{*}}{\partial a}<0$.

2）求$q_c^{*}$和${\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{R}}_c^{*}$关于c的一阶偏导数，可得$\frac{\partial q_c^{*}}{\partial c}=-\frac{2t{b}^2（1-\tau ）}{A}<0，\frac{\partial {\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{R}}_c^{*}}{\partial c}=-\frac{2t^2{b}^2（1-\tau {）}^{2}N}{A^2}<0$；求$e_{1c}^{*}$关于c的一阶偏导数，可得$\frac{\partial e_{1c}^{*}}{\partial c}=\frac{k（1-\tau ）}{A}>0$；求$p_c^{*}$关于c的一阶偏导数，可得$\frac{\partial p_c^{*}}{\partial c}=\frac{（1-\tau ）\left(2tb-k^2\right)}{A}$，由此可得，当$\tau \in \left(0，\frac{1}{2}\right)$，$\frac{\partial p_c^{*}}{\partial c}<0$，当$\tau \in \left(\frac{1}{2}，\frac{2}{3}\right)$时，$\frac{\partial p_c^{*}}{\partial c}>0$；求${\pi }_c^{*}$关于c的一阶偏导数，可得$\frac{\partial {\pi }_c^{*}}{\partial c}=-\frac{2tbN（1-\tau ）\left[4tb（1-2\tau ）-k^2（1-\tau ）\right]}{A^2}$，进而可得，当$\tau \in \left(0，\frac{1}{2}\right)$时，$\frac{\partial {\pi }_c^{*}}{\partial c}>0$，当$\tau \in \left(\frac{1}{2}，\frac{2}{3}\right)$时，$\frac{\partial {\pi }_c^{*}}{\partial c}<0$.

证毕.

然后，探究批发价格契约下分散式供应链的均衡情况.

3 分散式供应链决策模型：批发价格契约

3.1 模型Ⅰ （制造商：CER+CSR）

在模型Ⅰ中，制造商承担CER责任和CSR，零售商关注利润最优化.制造商的优化决策问题为

其中：$\left(w-c-{\tau }_1\right)q-t{\left(e_0-e_1\right)}^2$代表制造商的利润；$\frac{\tau q^2}{2b}$表示制造商承担的相应CSR.IC代表零售商的激励相容约束，IR代表零售商的理性约束，即意味着零售商只有在其利润（（p-w）q）至少等于其预留利润水平$\overline{{\pi }_r}$时，零售商才会与制造商合作交易.求解模型Ⅰ的最优决策，得到命题2.

命题2  当$\tau \in \left[0，\frac{4}{5}\right)$且$t>\frac{k^2（1-\tau ）}{2b（4-5\tau ）}$时，最优的批发价格为${\left[w^{*}\right]}^{\mathrm{I}}=c+{\tau }_1+\frac{2tN（2-3\tau ）}{A_1}$，最优的碳排放量为${\left[e_1^{*}\right]}^{\mathrm{I}}=e_0-\frac{kN（1-\tau ）}{A_1}$，最优的零售价格为${\left[p^{*}\right]}^{\mathrm{I}}={\left[w^{*}\right]}^{\mathrm{I}}+\frac{2tN（1-\tau ）}{A_1}$，制造商的最优利润为${\left[{\pi }_m^{*}\right]}^{\mathrm{I}}=t（1-\tau ）\left(A_1-2bt\tau \right){\left(\frac{N}{A_1}\right)}^2$，零售商的最优利润为${\left[{\pi }_r^{*}\right]}^{\mathrm{I}}=\frac{b[2t（1-\tau ）N{]}^2}{A_1^2}$，供应链的最优总利润为${\left[{\pi }^{*}\right]}^I={\left[{\pi }_m^{*}\right]}^I+{\left[{\pi }_{\mathrm{r}}^{*}\right]}^{\mathrm{I}}=t（1-\tau ）\left(A_1+2bt（2-3\tau ）\right){\left(\frac{N}{A_1}\right)}^2$，最优的社会企业责任为${\left[{\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{R}}^{*}\right]}^1=2b\tau {\left(\frac{（1-\tau ）tN}{A_1}\right)}^2$.其中，A₁=2bt（4-5τ）-k²（1-τ），N=（a-bc-bτ₁-ke₀）.

证明 求式（6）关于p 的一阶条件，可得$p\left(w，e_1\right)=\frac{a-k{e}_1+bw}{2b}$，将该式代入到产品的需求函数中，可得$q\left(w，e_1\right)=\frac{a-k{e}_1-bw}{2}$.将 $p\left(w，e_1\right)$和$q\left(w，e_1\right)$代入式（5），可得：

$\begin{array}{c}{\mu }_m=(1-\tau )\left\{\frac{\left(w-c-{\tau }_1\right)\left(a-k{e}_1-bw\right)}{2}-\right.\\ \left.t{\left(e_0-e_1\right)}^2\right\}+\frac{\tau {\left(a-k{e}_1-bw\right)}^2}{8b}.\end{array}$

可得制造商的目标函数（μ_m）关于产品批发价格w和碳减排量e₁的Hessian矩阵如下：

$\mathit{H}=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^2{\mu }_m}{\partial w^2}& \frac{{\partial }^2{\mu }_m}{\partial w\partial e_1}\\ \frac{{\partial }^2{\mu }_m}{\partial e_1\partial w}& \frac{{\partial }^2{\mu }_m}{\partial e_1^2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}b\left(\frac{5\tau }{4}-1\right)& k\left(\frac{3\tau }{4}-1\right)\\ k\left(\frac{3\tau }{4}-1\right)& \frac{\tau k^2}{4b}-2t(1-\tau )\end{array}\right].$

目标函数存在最优解的条件是Hessian矩阵负定，即：

1）$\frac{{\partial }^2{\mu }_m}{\partial w^2}<0\Rightarrow b\left(\frac{5\tau }{4}-1\right)<0\Rightarrow$当 b＞0时，$\tau <\frac{4}{5}$；

2）$\frac{{\partial }^2{\mu }_m}{\partial e_1^2}<0\Rightarrow \frac{\tau k^2}{4b}-2t(1-\tau )<0\Rightarrow t>\frac{\tau k^2}{8b(1-\tau )}$；

3）$\left|H\right|>0\Rightarrow t>\frac{k^2(1-\tau )}{2b(4-5\tau )}$.

因为$max\left(\frac{k^2（1-\tau ）}{2b（4-5\tau ）}，\frac{\tau k^2}{8b（1-\tau ）}\right)=\frac{k^2（1-\tau ）}{2b（4-5\tau ）}$，由以上条件，可得$\tau \in \left[0，\frac{4}{5}\right)$且$t>\frac{k^2（1-\tau ）}{2b（4-5\tau ）}$时，该Hessian矩阵负定，此时目标函数存在最优解.

求μ_m关于 w 和e₁的一阶导数，并令其等于零，可得：

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\mu }_m}{\partial w}=\frac{(1-\tau )\left(a-k{e}_1+bc+b{\tau }_1-2bw\right)}{2}-\\ \frac{\tau \left(a-k{e}_1-bw\right)}{4}=0,\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\mu }_m}{\partial e_1}=(1-\tau )\left\{2t\left(e_0-e_1\right)-\frac{k\left(w-c-{\tau }_1\right)}{2}\right\}-\\ \frac{\tau k\left(a-k{e}_1-bw\right)}{4b}=0.\end{array}$

联立以上两个方程可得：${\left[w^{*}\right]}^{\mathrm{I}}=c+{\tau }_1+\frac{2tN（2-3\tau ）}{A_1}$和${\left[e_1^{*}\right]}^{\mathrm{I}}=e_0-\frac{kN（1-\tau ）}{A_1}$.其中， A₁=2bt（4-5τ）-k²（1-τ），N=（a-bc-bτ₁-ke₀）.将产品最优批发价格和最优碳排放量代入利润函数等，可得其他最优解.

证毕.

3.2 模型Ⅱ （制造商：CER；零售商：CSR）

在模型Ⅱ中，制造商承担CER责任，零售商承担CSR和利润.制造商和零售商的目标函数分别为

用逆向归纳法求均衡解可得命题3.

命题3  当$\tau \in \left[0，\frac{2}{3}\right)$且$0<t<\frac{k^2（1-\tau ）}{4b（2-3\tau ）}$时，最优的批发价格为${\left[w^{*}\right]}^{\mathrm{Ⅱ}}=c+{\tau }_1+\frac{2tN（2-3\tau ）}{A_2}$，最优的碳排放量为${\left[e_1^{*}\right]}^{\text{II}}=e_0-\frac{kN（1-\tau ）}{A_2}$，最优的零售价格为${\left[p^{*}\right]}^{\mathbb{I}}={\left[w^{*}\right]}^{\mathbb{I}}+\frac{2tN（1-2\tau ）}{A_2}$，制造商的最优利润为${\left[{\pi }_m^{*}\right]}^{\text{II}}=\frac{t（1-\tau ）N^2}{A_2}$，零售商的最优利润为${\left[{\pi }_r^{*}\right]}^{\text{II}}=b（1-\tau ）（1-2\tau ）{\left(\frac{2tN}{A_2}\right)}^2$，供应链的最优总利润为${\left[{\pi }^{*}\right]}^{\mathrm{Ⅱ}}={\left[{\pi }_m^{*}\right]}^{\mathrm{Ⅱ}}+{\left[{\pi }_r^{*}\right]}^{\mathrm{Ⅱ}}=t（1-\tau ）\left(A_2+\right.2bt（3-4\tau ））{\left(\frac{N}{A_2}\right)}^2$，最优社会企业责任为${\left[{\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{R}}^{*}\right]}^{\mathbb{I}}=2b\tau {\left(\frac{tN（1-\tau ）}{A_2}\right)}^2$.其中，A₂=4bt（2-3τ）-k²（1-τ），N=（a-bc-bτ₁-ke₀）.

证明与命题2类似，此处省略.

3.3 模型Ⅲ（制造商：CSR；零售商：CER）

在模型Ⅲ中，制造商承担CSR，零售商承担CER责任并关注利润.制造商和零售商的优化目标为

用逆向归纳法求均衡解可得命题4.

命题4  当$t>\frac{k^2}{4b}$时，最优的批发价格为${\left[w^{*}\right]}^{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}=c+\frac{N（A-tb\tau ）}{2b{A}_3}$，最优的碳排放量为${\left[e_1^{*}\right]}^{\text{III}}=e_0-\frac{kN（1-\tau ）}{2A_3}$，最优的零售价格为${\left[p^{*}\right]}^{\text{III}}={\tau }_1+{\left[w^{*}\right]}^{\text{III}}+\frac{tN（1-\tau ）}{A_3}$，最优的销售量为${\left[q^{*}\right]}^{\text{III}}=\frac{btN（1-\tau ）}{A_3}$，零售商的最优利润为${\left[{\pi }_r^{*}\right]}^{\text{III}}=t\left(4tb-k^2\right){\left[\frac{（1-\tau ）N}{2A_3}\right]}^2$，制造商的最优利润为${\left[{\pi }_m^{*}\right]}^{\text{III}}=\frac{t（1-\tau ）\left(A_{c3}-tb\tau \right)}{2}{\left(\frac{N}{A_3}\right)}^2$，供应链的最优总利润为${\left[{\pi }^{*}\right]}^{\text{III}}={\left[{\pi }_m^{*}\right]}^{\text{III}}+{\left[{\pi }_r^{*}\right]}^{\text{III}}=t（1-\tau ）\left(A_3+bt（8-11\tau ）+4k^2（1-\tau ）\right){\left(\frac{N}{2A_3}\right)}^2$，最优的社会企业责任为${\left[{\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{R}}^{*}\right]}^{\text{III}}=\frac{b\tau }{2}{\left[\frac{tN（1-\tau ）}{A_3}\right]}^2$.其中， A₃=bt（4-5τ）-k²（1-τ），N=（a-bc-bτ₁-ke₀）.

证明与命题2类似，此处省略.

3.4 模型Ⅳ （零售商：CER+CSR）

在模型Ⅳ中，制造商关注利润，零售商承担CER责任和CSR.制造商和零售商的优化问题为

用逆向归纳法求均衡解可得命题5.

命题5  当$t>\frac{k^2}{4b}$时，最优的批发价格为${\left[w^{*}\right]}^{\mathrm{I}\mathrm{V}}=c+\frac{N}{2b}$，最优的碳排放量为${\left[e_1^{*}\right]}^{\mathrm{I}\mathrm{V}}=e_0-\frac{kN（1-\tau ）}{2A}$，最优的零售价格为${\left[p^{*}\right]}^{\mathrm{I}\mathrm{V}}={\tau }_1+{\left[w^{*}\right]}^{\mathrm{I}\mathrm{V}}+\frac{tN（1-2\tau ）}{A}$，制造商的最优利润为${\left[{\pi }_m^{*}\right]}^{\mathrm{I}\mathrm{V}}=\frac{t（1-\tau ）N^2}{2A}$，零售商的最优利润为${\left[{\pi }_r^{*}\right]}^{\mathrm{I}\mathrm{V}}=t（1-\tau ）（A-2tb\tau ）{\left(\frac{N}{2A}\right)}^2$，供应链的最优总利润为 ${\left[{\pi }^{*}\right]}^{\mathrm{Ⅳ}}={\left[{\pi }_m^{*}\right]}^{\mathrm{Ⅳ}}+{\left[{\pi }_r^{*}\right]}^{\mathrm{Ⅳ}}=t（1-\tau ）（A+2bt（4-\left.7\tau ）+4k^2（1-\tau ）\right){\left(\frac{N}{2A}\right)}^2$，最优的社会企业责任为${\left[{\mathrm{C}\mathrm{S}\mathrm{R}}^{*}\right]}^{\mathrm{Ⅳ}}=\frac{b\tau }{2}{\left[\frac{tN（1-\tau ）}{A}\right]}^2$.其中，A=2tb（2-3τ）-k²（1-τ），N=（a-bc-bτ₁-ke₀）.

证明与命题2类似，此处省略.

在下一节中，本文设计了两部定价契约对四种分散式模型进行协调或帕累托改进.

4 两部定价契约协调机制

两部定价契约是指，制造商在出售产品时，向零售商收取一定金额的固定费用（L），并收取每单位的使用费（w）.通过两部定价契约协调机制，可以获得供应链纵向整合的最优结果，实现供应链成员的利益分配.下面分别介绍四种模型在两部定价契约下的均衡情况.

4.1 模型Ⅰ-LTT （制造商：CER+CSR）

在模型Ⅰ-LTT中，制造商承担CER责任和CSR，而零售商关注利润.通过两部定价契约机制对供应链进行协调，即制造商先降低批发价格，激励零售商购买更多的产品.此外，零售商向制造商支付一笔固定费用（$[L{]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}$）补偿其损失，制造商和零售商的决策问题为

求解均衡解，并对其进行分析，得到命题6.

命题6  在模型Ⅰ-LTT中，两部定价契约$\left({\left[w^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}，{\left[L^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}\right)$可以有效地协调制造商承担CER责任和CSR、零售商关注利润的供应链.此时，供应链的均衡决策与集中式决策下的均衡决策相同，供应链利润也达到最优.

证明 求式（15）关于p 的一阶条件，可得$p\left(w，e_1\right)=\frac{a-k{e}_1+bw}{2b}$，将其代入到产品的需求函数中，可得$q\left(w，e_1\right)=\frac{a-k{e}_1-bw}{2}$.

将 $p\left(w，e_1\right)$和 $q\left(w，e_1\right)$代入式（15），可得：${\pi }_r（\cdot ）=\frac{{\left(a-bw-k{e}_1\right)}^2}{4b}-L$.假设零售商获取保留利润，则最优固定费用为$L^{*}=\frac{{\left(a-bw-k{e}_1\right)}^2}{4b}-\overline{{\pi }_r}$，将其代入式（14），可得${\mu }_m=（1-\tau ）\left\{\frac{\left(w-c-{\tau }_1\right)\left(a-k{e}_1-bw\right)}{2}-t{\left(e_0-e_1\right)}^2+\right.\left.\frac{{\left(a-bw-k{e}_1\right)}^2}{4b}-\overline{{\pi }_r}\right\}+\frac{\tau {\left(a-k{e}_1-bw\right)}^2}{8b}$.可得μ_m关于w和e₁的Hessian矩阵为

$\begin{array}{c}H=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^2{\mu }_m}{\partial w^2}& \frac{{\partial }^2{\mu }_m}{\partial w\partial e_1}\\ \frac{{\partial }^2{\mu }_m}{\partial e_1\partial w}& \frac{{\partial }^2{\mu }_m}{\partial e_1^2}\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{cc}b\left(\frac{3\tau }{4}-\frac{1}{2}\right)& \frac{\tau k}{4}\\ \frac{\tau k}{4}& \frac{(2-\tau )k^2}{4b}-2t(1-\tau )\end{array}\right].\end{array}$

当$\tau \in \left[0，\frac{2}{3}\right)$且$t>\frac{k^2（1-\tau ）}{2b（3-2\tau ）}$时，Hessian矩阵负定，目标函数存在最优解.求μ_m关于w和e₁的一阶导数，并令其等于零，可得：

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\mu }_m}{\partial w}=-\frac{b(1-\tau )\left(w-c-{\tau }_1\right)}{2}-\\ \frac{\tau \left(a-k{e}_1-bw\right)}{4}=0,\\ \frac{\partial {\mu }_m}{\partial e_1}=(1-\tau )\left\{2t\left(e_0-e_1\right)-\right.\\ \left.\frac{kb\left(w-c-{\tau }_1\right)+k\left(a-k{e}_1-bw\right)}{2b}\right\}-\\ \frac{\tau k\left(a-k{e}_1-bw\right)}{4b}=0.\end{array}$

联立方程得到最优的批发价格和最优的碳排放量分别为${\left[w^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}=c+{\tau }_1+\frac{2\tau tN}{A}，{\left[e_1^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{c1}=e_0-\frac{kN（1-\tau ）}{A}$.进而可得，${\left[p^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}={\left[w^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{c1}+\frac{2tN（1-\tau ）}{A}，{\left[q^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}=\frac{2tbN（1-\tau ）}{A}，{\left[L^{*}\right]}_{\mathrm{L}T\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}=\frac{1}{4b}\times \left[a+\frac{b\left(2t\tau \left(a-k{e}_0\right)-（1-\tau ）\left(c+{\tau }_1\right)\left(4tb-k^2\right)\right)}{2tb（2-3\tau ）-k^2（1-\tau ）}+\right.{\left.\frac{k\left(k（1-\tau ）\left(a-bc-b{\tau }_1\right)-2tb{e}_0（2-3\tau ）\right)}{2tb（2-3\tau ）-k^2（1-\tau ）}\right]}^2-\overline{{\pi }_r}$.其中， A=2tb（2-3τ）-k²（1-τ），N=（a-bc-bτ₁-ke₀）.

通过与集中式决策的最优解对比，可得：$p_c^{*}={\left[p^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}=c+{\tau }_1+\frac{2\tau tN}{A}+\frac{2tN（1-\tau ）}{A}，e_{1c}^{*}={\left[e_1^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}=e_0-\frac{kN（1-\tau ）}{A}，{\left[{\pi }_m^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}+{\left[{\pi }_r^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}={\mathit{\pi }}_c^{*}=\frac{t（1-\tau ）N^2（A-2tb\tau {）}^2}{A^2}$.

证毕.

命题6表明，两部定价契约$\left({\left[w^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}，{\left[L^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}\right)$可以实现制造商承担CER责任和CSR、零售商关注利润的供应链协调.在该契约下，供应链总利润与集中式决策时相等，可以实现制造商与零售商“双赢”.

4.2 模型Ⅱ-LTT （制造商：CER；零售商：CSR）

在模型Ⅱ-LTT中，制造商承担CER责任，零售商承担CSR和利润.通过两部定价契约机制对供应链进行协调，即制造商先降低批发价格，激励零售商购买更多的产品.此外，零售商向制造商支付一笔固定费用（$[L{]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}}$）来补偿其损失，制造商和零售商的决策问题为

求解式（16）—（18）问题的均衡解，并对其进行分析，得到命题7.

命题7  在模型Ⅱ-LTT中，两部定价契约（${\left[w^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}\mathrm{I}}，{\left[L^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}\mathrm{I}}$）不能完美地协调制造商承担CER责任、零售商承担CSR和利润的供应链，但是可以实现帕累托改进.此时，供应链的均衡决策与集中式决策下的均衡决策并不相同，但当零售商利润等于分散式决策下利润时，制造商利润可以得到提高.

证明 模型Ⅱ-LTT均衡结果的计算过程与4.1节类似，可得：当$\tau \in \left[0，\frac{2}{3}\right)$且$0<t<\frac{k^2（1-\tau ）}{4b（2-3\tau ）}$时，最优的批发价格为${\left[w^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}\mathrm{I}}=c+{\tau }_1+\frac{2\tau tN}{（1-\tau ）\left(4tb-k^2\right)}$，最优的碳排放量为${\left[e_1^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}\mathrm{I}}=e_0-\frac{kN（1-\tau ）}{\left(4tb-k^2\right)}$，最优的零售价格为${\left[p^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{I}\mathrm{I}}={\left[w^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{Ⅱ}}+\frac{2tN（1-2\tau ）}{（1-\tau ）\left(4tb-k^2\right)}$，最优的固定费用为${\left[L^{*}\right]}_{\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{T}}^{\mathrm{Ⅱ}}=\frac{1}{b（2-3\tau {）}^2}\{（1-\tau ）（1-2\tau ）[a+\left(b\left(k^2（1-\tau ）\left(c+{\tau }_1\right)-2tb（2-3\tau ）\left(c+{\tau }_1\right)-\right.\right.\left.\left.2t\tau \left(a-k{e}_0\right)\right)/4tb（1-\tau ）-k^2（1-\tau ）\right)+\left.{\left.\frac{k\left(k\left(a-b{\tau }_1-bc\right)-4tb{e}_0\right)}{4tb-k^2}\right]}^2\right\}-\overline{{\pi }_r}$. 其中N=（a-bc-bτ₁-ke₀）.