0 引言

与传统的电励磁同步电机相比，稀土永磁同步电机具有结构简单、运行可靠、体积小、效率高等优点，广泛应用于航空航天、工农生产、新能源汽车等领域^[1]．但永磁同步电机稳定运行时存在齿槽转矩，会引起电机振动与噪声，影响电机输出性能，降低电机运行可靠性与稳定性．因此，降低齿槽转矩，提升电机输出性能已成为高性能永磁同步电机的重要研究内容之一．

目前，国内外学者对削弱永磁电机齿槽转矩已进行了大量的研究与分析，取得了一定成果．文献^[2]通过建立参数化扫描模型，对V型内置式永磁同步电机永磁体夹角、永磁体长宽比、气隙长度进行仿真分析，得到了考虑以上三个变量的齿槽转矩最优方案; 文献^[3]通过偏斜定子降低横向磁通电机的齿槽转矩; 文献^[4]对转子分段斜极、非均匀气隙情况下的内置式永磁同步电机进行齿槽转矩的削弱; 文献^[5]提出一种非对称V型磁极偏移转子结构，并通过选择最佳的磁极偏移方式与角度，达到降低齿槽转矩的效果; 文献^[6]提出一种对定子槽口进行偏移的方法来降低齿槽转矩，通过偏移适当的角度能够有效降低齿槽转矩; 文献^[7]以双层内嵌式永磁同步电机为例，采用磁极偏移与非均匀气隙的方法来降低齿槽转矩，并取得理想的效果．此外还有众多学者利用在电机内部开设辅助槽的方法来降低齿槽转矩．文献^[8-10]采用永磁同步电机转子极面开辅助槽削弱齿槽转矩的方法，通过选择合适的辅助槽参数，将齿槽转矩优化到最佳效果；文献^[11-13]以内置式永磁同步电机为例，研究了定子开设辅助槽数量、槽型、尺寸对齿槽转矩的影响．

目前学者们对削弱齿槽转矩的研究主要集中在对定子或者转子单独进行优化上，但对两者同时进行优化的措施相对较少．因此，为降低齿槽转矩，本文提出一种在定子齿顶开设辅助槽与转子外圆偏心的组合方法，推导定子开槽时主气隙长度分布函数表达式，分析定子开槽数量、辅助槽间距、辅助槽宽度及其深度对气隙长度分布函数、齿槽转矩的影响，同时对转子外圆进行偏心处理，推导转子外圆偏心时与齿槽转矩之间的关系式．利用有限元法优化分析定子辅助槽参数、转子外圆偏心参数及优化前后永磁同步电机的输出性能，验证分析的有效性．

1 齿槽转矩原理

永磁电机齿槽转矩（T_cog）是由永磁体与电枢齿槽之间相互作用力切向分量的波动引起的，定义为电机不通电时磁场能量W相对于定转子之间位置角α的负导数^[14]:

电机内磁场的能量为永磁体与主气隙磁场能量之和:

式中:W_air+PM为主隙和永磁体中的磁场能量和; μ₀为真空磁导率; θ表示沿电机旋转方向变化的机械角度; V为包括永磁体和气隙的积分区域; B（θ，α）为气隙磁密分布函数:

式中:B_r（θ）为永磁体剩磁感应强度; h_m（θ）为永磁体充磁方向长度沿圆周方向的分布函数; δ（θ，α）为主气隙长度分布函数．

将式（2）、（3）代入（1）可得:

$T_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{g}}\left(\alpha \right)=-\frac{\partial W\left(\alpha \right)}{\partial \alpha }=$

由式（4）可知，电机齿槽转矩主要与永磁体剩磁感应强度B_r（θ）、永磁体充磁方向长度h_m（θ）和主气隙长度分布函数δ（θ，α）有关，其中B_r（θ）和h_m（θ）均为永磁磁场参数，决定转子磁场的大小，因此永磁电机齿槽转矩主要与转子磁场和主气隙长度分布有关．由于转子磁场主要由电机输出功率和输出扭矩决定，是电机主要技术指标影响量，当电机主要技术指标决定后基本不变，暂不考虑．因此削弱电机齿槽转矩应主要从主气隙长度分布入手．基于此分析，本文提出一种定子齿顶开槽与转子偏心的方法来优化主气隙长度分布函数，降低齿槽转矩．

1.1 定子齿顶辅助槽与齿槽转矩关系分析

1.1.1 定子齿辅助槽槽数与齿槽转矩的关系

针对内置永磁同步电机，对其齿槽转矩谐波次数进行分析，不同极槽配合时，导致齿槽转矩的谐波次数不同，用f_pn表示齿槽转矩谐波次数:

式中，N_L为定子槽数z和极数2p的最小公倍数．

齿槽转矩的谐波次数与幅值成反比，当谐波次数增加时，其幅值降低．因此采用开辅助槽的方式改变N_L（z，2p）以抑制齿槽转矩．当开n个辅助槽时，则槽数z改变为（n+1）z，kN_L（z，2p）增加，如果N_L[（n+1）z，2p]/N_L（z，2p）≠1，则齿槽转矩f_pn升高，幅值降低．本文中的样机极数2p=8，槽数z=48，根据式（5）分析，f_pn=6k，开单个辅助槽时，f_pn=12k，开两个槽时，f_pn=18k．当f_pn增加，磁势和磁导谐波幅值降低，齿槽转矩得到抑制，开槽数量越多齿槽转矩的削弱效果越明显，但考虑到定子齿顶自身尺寸的限制，本文仅研究开槽数最多为2的情况．

1.1.2 定子齿顶开槽主气隙长度分布函数解析计算

定子齿顶开槽时按辅助槽关于定子齿中心线对称的原则，避免引入新的谐波．同时为简化分析，将定子槽等效为矩形．当定子齿在开设两个辅助槽时，主气隙分布如图1所示．

图1中：δ₀为定子齿顶与转子表面间的气隙长度；l为两定子齿中心线间距；b₀为定子槽口宽度；h₀为定子槽深；b₁为定子齿宽．由图1所示，以某个定子齿中心线与转子外径交点A为坐标原点，定子齿开槽前的气隙长度分布函数δ₁（θ）可计算为

${\delta }_1\left(\theta \right)=\left\{\begin{array}{c}{\delta }_0,\left(kl-\frac{b_1}{2}⩽\theta ⩽kl+\frac{b_1}{2}\right)\\ {\delta }_0+h_0,\left(kl+\frac{b_1}{2}⩽\theta ⩽kl+\frac{b_1}{2}+b_0\right)\end{array}\right.$

将δ₁（θ）进行傅里叶分解^[15-16]，可得:

${\delta }_1\left(\theta \right)=\frac{1}{l}\left[{\delta }_0{b}_1+\left(h_0+{\delta }_0\right)b_0\right]+$

式中，θ为转子位置相对于参考点A的角度．

开设两个辅助槽时，主气隙长度分布函数δ₂（θ）计算为

${\delta }_2\left(\theta \right)=\left\{\begin{array}{c}{\delta }_0,\left(kl-\frac{d}{2}-a-c⩽\theta ⩽kl+\frac{d}{2}-a\right.\\ kl-\frac{d}{2}⩽\theta ⩽kl+\frac{d}{2},\\ \left.kl+\frac{d}{2}+a⩽\theta ⩽kl+\frac{b_1}{2}\right)\\ {\delta }_0+h_0,\left(kl+\frac{b_1}{2}⩽\theta ⩽kl+\frac{b_1}{2}+b_0\right)\\ {\delta }_0+b,\left(kl-\frac{d}{2}-a⩽\theta ⩽kl-\frac{d}{2}\right.\\ \left.kl+\frac{d}{2}⩽\theta ⩽kl+\frac{d}{2}+a\right)\end{array}\right.$

式中:a为定子齿开槽宽度; b为定子齿开槽深度; c为槽外侧边距最近定子齿侧边的距离; d为两槽内侧边之间的距离; L为开槽后槽侧边到最近定子齿侧边的距离．

将气隙长度分布函数δ₂（θ）进行傅里叶分解，可得:

${\delta }_2\left(\theta \right)=\frac{1}{l}\left[{\delta }_0{b}_1+\left(h_0+{\delta }_0\right)b_0+2ab\right]+$

其中，

$A_{\mu 1}=\frac{2}{\pi }\left[\frac{h_0}{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{n\pi }{l}\left(\frac{b_1}{2}+b_0\right)-\frac{h_0}{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{n\pi b_1}{2l}+\right.$

$A_{\mu 2}=\frac{2}{\pi }\left[\frac{h_0}{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{n\pi }{l}\left(\frac{b_1}{2}+b_0\right)-\frac{h_0}{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{n\pi b_1}{2l}+\right.$

由式（4）、（7）、（9）可知，定子齿顶开辅助槽可减小有效气隙长度分布函数δ（θ）的谐波幅值，优化主气隙长度分布函数，从而达到削弱齿槽转矩的目的．其中主要影响参数有辅助槽位置、槽宽、槽深，因此合理选择辅助槽参数可有效降低齿槽转矩．

1.2 转子外圆偏心与齿槽转矩关系解析

本文采用的转子外圆偏心结构仅研究偏心距对齿槽转矩的影响．

图2中:O为均匀气隙时的转子外圆圆心; O′为偏心之后的转子外圆圆心; h为偏心距; R为均匀气隙时的转子外圆半径; R′为偏心圆的半径; δ（β）为转子外圆偏心时的气隙长度随转子位置角的函数．

由解析法可知，转子外圆偏心结构气隙磁导表达式可表示为

为了精确分析气隙磁导中的谐波，将气隙磁导函数进行傅里叶分解，可表示为

${\lambda }_{\delta }\left(\beta \right)={\lambda }_1+\sum _{k=1}{\lambda }_2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}k(\beta -\omega t),$

其中:λ₁为直流分量; λ₂为谐波分量．

分析转子外圆偏心对气隙磁场分布的影响，转子永磁体产生的基波磁动势可表示为

式中：F_p 为永磁体磁势基波幅值；ω 为磁势角频率；β₀ 为初始相角；p 为电机极对数．

由此可得转子外圆偏心结构气隙磁密表达式为

$B_{\delta }=f_{\mathrm{p}}(\beta ,t)\cdot {\lambda }_{\delta }\left(\beta \right)=$

$F_{\mathrm{p}}{\lambda }_1\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(p\beta -\omega t-{\beta }_0\right)+$

由式（15）和式（4）可知，转子外圆偏心结构会对气隙磁密谐波幅值进行削弱^[17]，从而影响齿槽转矩．

2 齿槽转矩削弱分析

以一台3相8极48槽内嵌V型永磁同步电机为例，其中定转子材料均为DW310-35，永磁体材料为NdFe35，主要技术指标和参数如表1，电机有限元模型如图3所示．

定子齿顶开辅助槽的结构示意如图4所示，辅助槽的主要参数有位置参数辅助槽中心线与定子齿中心线角度γ、槽宽a以及槽深b．

2.1 定子齿顶开槽数量对齿槽转矩的影响

利用有限元模型仿真得电机原模型、定子齿顶开单个槽、开两个槽情况下的齿槽转矩波形如图5所示．

由图5可知，与定子顶齿无槽相比，定子齿顶开单个辅助槽时齿槽转矩峰值增大，而对称分布的两个辅助槽时齿槽转矩降低，齿槽转矩的峰值由1.14 N·m下降到0.79 N·m，下降了30%，因此选用定子齿顶开对称分布的两个辅助槽的方法．

2.2 定子齿顶开槽形状对齿槽转矩的影响

不同辅助槽型对齿槽转矩的影响有所差异，本文对比研究三角形槽、半圆形槽、矩形槽三种辅助槽型对齿槽转矩的影响规律，三种槽型如图6所示，保证三者的槽深与槽宽相同，仿真不同辅助槽型的齿槽转矩波形如图7所示．

由图7可知，定子齿顶辅助槽不同槽型对电机齿槽转矩的削弱效果不同，三角形、圆形、矩形三种辅助槽型对应的齿槽转矩峰值分别为0.91、0.85和0.82 N·m，其中矩形槽对齿槽转矩的削弱效果最明显，因此本文选择矩形辅助槽．

2.3 辅助槽与定子齿中心线角度γ对齿槽转矩的影响

当辅助槽槽宽b=1 mm，槽深a=0.5 mm保持不变，改变角度γ的值为0°~2°，步长为0.1°时，仿真得不同辅助槽与定子齿中心线角度γ的永磁同步电机齿槽转矩峰值变化曲线如图8所示．

2.4 辅助槽槽宽a对齿槽转矩的影响

当辅助槽与定子齿中心线角度γ=1.6°，槽深b=0.5 mm不变，槽宽a的取值范围为0.2~2 mm，步长为0.2 mm时，仿真得到不同槽宽a时电机齿槽转矩峰值变化曲线如图9所示．

由图9可以看出，当齿槽转矩的峰值随着槽宽a的增加先降低后增加，在a=1.4 mm时，齿槽转矩峰值最小，为0.67 N·m．

2.5 辅助槽槽深b对齿槽转矩的影响

保持角度γ=1.6°、槽宽a=1.4 mm不变，将槽深b作为变量，取值范围为0.2~2 mm，步长为0.2 mm时，仿真得到不同槽深b时的齿槽转矩峰值变化曲线如图10所示．

由图10可知，齿槽转矩峰值随着槽深b的增加先下降后上升，在槽深b=0.4 mm时取得最小值，为0.65 N·m．齿槽转矩随辅助槽深b的变化与辅助槽同定子齿中心线角度γ与辅助槽槽宽a对齿槽转矩的削弱趋势相比较少，即辅助槽深度b对齿槽转矩峰值的削弱效果比槽宽i与角度γ的削弱效果弱．定子开槽前后齿槽转矩对比如图11所示．

由图11可知，定子开槽前后齿槽转矩得到了很好的优化，峰值由1.14 N·m降低到了0.65 N·m，降低了43%．

2.6 偏心距h对齿槽转矩的影响

保持定子辅助槽优化参数不变，将转子外圆偏心距h作为变量，碍于转子磁极隔磁障的结构强度，本文偏心距h的优化范围仅取0~10 mm，步长为1 mm，仿真得到不同转子外圆偏心距h时的齿槽转矩峰值变化曲线如图12所示．

由图12可知，随着转子外圆偏心距h的增加，齿槽转矩峰值在0~2 mm范围内持续上升，在2~8 mm范围内缓慢下降，8~10 mm内曲线先上升后下降，在h=10 mm处取得最小值，此时齿槽转矩峰值为0.46 N·m．

3 优化结果分析

采用优化后的定子齿顶辅助槽与转子外圆偏心距参数建立电机模型，仿真得到优化前后的齿槽转矩对比如图13所示．

由图13可知，优化后的齿槽转矩峰值与开槽前相比显著降低，由1.14 N·m下降到0.46 N·m，降低了59.6%，优化效果明显．优化前后的气隙磁密以及气隙磁密谐波对比如图14和图15所示．

由图14和图15可知，优化后的气隙磁密波形正弦性增强，峰值有所提升，相比于优化前，气隙磁密基波幅值略有增加，5、11、15、17次谐波幅值明显下降．优化前后反电动势波形以及谐波对比如图16和图17所示．

由图16和图17可知，相对于优化前，优化后的反电动势波形走势更趋于正弦，峰值略有提升，反电动势基波幅值略有提升，9、11、13次谐波明显下降．优化前后的电机输出转矩如图18所示，优化前后目标参数对比如表2所示．

由图18和表2可知，定子齿顶开辅助槽优化后，电机的转矩峰值由240.32 N·m提高到251.69 N·m，提升4.7%，平均转矩由220.94 N·m提高到231.65 N·m，提升4.8%，电机的转矩脉动系数由9.4%下降到8.5%，与优化前相比降低9.6%，驱动电机输出性能显著提升．

4 结论

本文提出一种定子齿顶开设辅助槽与转子外圆偏心的组合方法来削弱永磁同步电机的齿槽转矩，详细推导了开槽前后的气隙长度分布函数，对比研究定子齿辅助槽对齿槽转矩的影响，同时分析了转子外圆偏心对齿槽转矩产生的影响．利用有限元法对开槽数量、形状、位置、槽宽、槽深等辅助槽参数与转子偏心距进行优化对比分析．结果表明，当定子齿顶开两个矩形辅助槽，辅助槽与定子齿中心线角度为1.6°，槽宽为1.4 mm，槽深为0.4 mm，转子外圆偏心距为10 mm时，齿槽转矩峰值降低了59.6%，电机齿槽转矩明显削弱，优化后气隙磁密谐波幅值降低，反电动势正弦性增强，平均转矩提升4.8%，转矩脉动降低9.6%，电机的输出性能改善．

参考文献