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作者简介:

薛艳梅,女,博士,副教授,研究方向为动态系统稳定性分析与控制、信息物理系统的安全控制.ymxue1@163.com

中图分类号:TP13;O232

文献标识码:A

DOI:10.13878/j.cnki.jnuist.2022.05.010

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目录contents

    摘要

    本文研究了Delta算子描述的一类线性大系统的协同状态反馈控制问题.首先根据Delta算子描述的独立子系统,通过协同状态反馈控制器给出了互联的闭环控制系统.然后基于线性矩阵不等式技术,给出了系统协同状态反馈稳定控制器及协同状态反馈保性能控制器设计的充分条件,并利用李雅普诺夫稳定性理论证明所提方法的有效性.最后,仿真实例验证了本文算法的有效性和优越性.

    Abstract

    In this paper,the problem of cooperative state feedback control for a class of large-scale linear systems described by delta operator is studied.First,according to the independent subsystem described by delta operator,an interconnected closed-loop control system is given through cooperative state feedback controller.Then,based on linear matrix inequality,the sufficient conditions for the design of coordinated state feedback stabilizing controller and cooperative state feedback guaranteed cost controller are given,and the validity of the proposed method is proved by Lyapunov stability theory.Finally,simulation examples show the effectiveness and superiority of the proposed algorithm.

    关键词

    Delta算子大系统协同控制

  • 0 引言

  • 随着计算机、通信等技术的飞速发展,复杂大系统(Large Scale System)已广泛应用在工程技术[1-4]、社会经济[5]、生态环境[6-8]等各个领域.大系统的特点是模型维数较高、结构复杂、对系统鲁棒性要求较强等.大系统稳定性研究常用局部反馈方法,通过减少子系统间的互联增加大系统稳定性[9].但文献[10-11]的研究表明互联和协同在大系统稳定性中也有重要作用.文献[10]在自反馈和互联反馈情况下,给出两个系统协同稳定的充要条件,提出两系统谐波控制的概念;文献[11]针对含有不稳定子系统的大系统,设计一种特殊的分散控制器,使其通过有效的协同成为稳定的互联系统;文献[12]针对多无人机系统,在分析最优布站方式基础上,提出一种闭环最优控制方法,有效提升了多机协同跟踪时差无源定位的精度;文献[13]则针对航空火力系统,研究了分布式协同架构下的控制问题.

  • 离散时间系统可由连续时间系统采样得到,适用于计算机实现,但当采样快时在有限字长的计算机中并不稳定.离散时间模型常用移位算子的形式表示,但在短采样周期间隔下存在截断和舍入误差困难的问题.在采样周期趋近于0时,离散Delta算子模型趋近于原连续模型,能有效克服移位算子方法高速采样时的缺点,有效避免传统Z变换引起的数值不稳定问题,使得连续域的各类设计方法可直接应用于离散域.因此Delta算子已成为连续时间模型和离散时间模型的统一描述方法,在计算机高速信号处理、宽带通信与数字采样控制领域具有广阔的应用前景[14].目前关于Delta算子的研究多集中在数据丢包、时变时延、H 滤波等方面[15-19].文献[15]针对二维Delta算子系统在饱和状态下的稳定性问题,给出了系统极限轨迹的一般性质和全局渐近稳定的充分必要条件;文献[16]针对Delta算子系统设计一个多频率区间降价H 滤波器,降低了现有方法的计算复杂度并提高了H 性能;文献[17]针对具有双通道丢包、时变时延且范数有界的不确定Delta算子网络控制系统,提出一种基于交换系统的故障检测方法,并给出了期望滤波器参数的显式表达式;文献[18]将交换拓扑网络中具有协作竞争交互和通信时延的多智能体系统的群一致性问题,转化为具有通信时延系统的全局渐近稳定问题;文献[19]针对具有内部参数摄动和外部干扰的高速信号采样系统,提出一种基于Sigmoid函数的Delta算子饱和变速趋近律,实现了不确定Delta算子系统的软滑模控制器设计.

  • 值得注意的是,关于Delta算子的大系统协同控制方面的研究较少.文献[9]将一些连续系统或离散系统的结果整合到Delta算子框架下,通过李雅普诺夫稳定性理论以线性矩阵不等式形式给出了大系统协同稳定的充分条件.

  • 受上述研究启发,本文将Delta算子描述的大系统看作相互独立的子系统,研究Delta算子框架下线性大系统的协同状态反馈控制问题.以线性矩阵不等式形式给出了互联系统协同状态反馈渐近稳定的充分条件,并给出了优化性能指标.本文方法放宽了文献[9]中协同状态反馈控制器设计中对正定矩阵的约束条件,使结果更具一般性.最后仿真实例进一步验证了本文算法的有效性及优越性.

  • 1 预备知识及问题描述

  • 1.1 预备知识

  • 文中Rp×q表示pq列的实矩阵,AT表示矩阵A的转置,M-1表示矩阵M的逆.A >0表示A为对称正定矩阵,A ≥0表示A为对称半正定矩阵.

  • 定义1[14] Delta算子定义如下:

  • δxtk=dx(t)dt, T=0xtk+T-xtkT, T0

  • 其中,T表示一个采样周期.

  • 注1 当采样周期T →0时,可知Delta算子δxtkx˙tk;当T=0时,δxtk=x˙tk;当T=1时,δxtk=xtk+1-xtk,与传统移位算子等价.与传统离散移位算子不同,离散Delta算子近似于欧拉导数,在离散时间的控制系统中采样周期越短系统性能越好.因此在有限字长计算机中,Delta算子模型在高速采样下具有更好数值性质[14].

  • 引理1[14](Delta算子的性质) 对任意关于时间t的函数x(t)y(t),有

  • δ(x(t)y(t))=δ(x(t))y(t)+x(t)δ(y(t))+Tδ(x(t))δ(y(t)).

  • 引理2[20](Schur补引理) 对给定的对称矩阵S=S11 S12S21 S22,其中S11r×r维矩阵,S12r ×n维矩阵,S21n ×r维矩阵,S22n ×n维矩阵,以下三个条件是等价的:

  • 1) S <0;

  • 2) S11<0,S22-S12TS11-1S12<0;

  • 3) S22<0,S11-S12S22-1S12T<0.

  • 1.2 问题描述

  • 本研究考虑Delta域下独立子系统通过协同控制成为一个互联闭环系统的状态反馈控制问题.

  • Delta算子描述的两个独立子系统如式(1)、(2)所示:

  • δx1tk=Aδ1x1tk+Bδ12u12tk
    (1)
  • δx2tk=Aδ2x2tk+Bδ21u21tk,
    (2)
  • 其中, x1tkRn1x2tkRn2分别表示子系统1与子系统2的状态, u12tkRm1u21tkRm2分别表示子系统1和子系统2的控制输入,子系统1和子系统2的系统矩阵分别为Aδ1Rn1×n1Aδ2Rn2×n2,控制输入矩阵分别为Bδ12Rn1×m1Bδ21Rn2×m2均为已知常值矩阵.

  • 为使大系统协同稳定,首先根据子系统(1)、(2)构造状态反馈协同控制器[9,11]:

  • u12tk=Kδ12x2tk
    (3)
  • u21tk=Kδ21x1tk
    (4)
  • 其中Kδ12Rm1×n2,Kδ21Rm2x1是将要设计的状态反馈增益矩阵.

  • 联立(1)—(4),可以得到闭环系统:

  • δxtk=δx1tkδx2tk=Aδ1Bδ12Kδ12Bδ21Kδ21Aδ2x1tkx2tk=Aδxtk.
    (5)
  • 定义2[11] 如果存在协同状态反馈控制器(3)—(4),使得闭环系统(5)渐近稳定,那么系统(1)—(2)就是协同状态反馈稳定的.

  • 本文进一步考虑如下协同控制器性能指标[9]:

  • J=Tk=0 xTtkQxtk+u12TtkC12u12tk+u21TtkC21u21tk=Tk=0 xTtkQ+KdTCdKdxtk,
    (6)
  • 其中C12Rm1×m1,C21Rm2×m2是正定矩阵,QRn1+n2×n1+n2,Kd=Kδ2100Kδ12,Cd=C2100C12.

  • 定义3 如果存在协同状态反馈控制器(3)—(4),使得闭环系统(5)渐近稳定,并满足性能指标(6),那么子系统(1)—(2)就是协同状态反馈稳定,并具有性能J.

  • 针对系统(1)—(2),求取Kδ12,Kδ21,使得协同控制器(3)—(4)作用下的闭环系统(5)渐近稳定的控制问题是协同状态反馈控制器设计的可行性问题.设计方法如文中定理1所示.

  • 针对系统(1)—(2),求取Kδ12,Kδ21,使得协同控制器(3)—(4)作用下的闭环系统(5)渐近稳定,并满足性能指标J的控制问题是协同状态反馈控制器设计的优化问题.设计方法如文中定理2所示.

  • 2 主要结论

  • 2.1 协同控制器设计的可行性问题

  • 定理1 如果存在正定矩阵X11Rn1×n1,X22Rn2×n2,W11Rn1×n1,W22Rn2×n2和矩阵X12Rn1x2,W12Rn1xn2,Y11Rm2x1,Y12Rm2xn2,Y21Rm1×n1,Y22Rm1×n2,使得:

  • X=X11X12*X22>0,W=W11W12*W22>0,Σ=Σ11Σ12Σ13*Σ220**Σ33<0
    (7)
  • 成立,其中

  • Σ11=-2W11-2W12*-2W22,Σ12=Aδ1X11+Bδ12Y21Aδ1X12+Bδ12Y22Bδ21Y11+Aδ2X12TBδ21Y12+Aδ2X22Σ13=TW11TW12TW12TTW22,Σ22=Σ12+Σ12T,Σ33=-TX11-TX12*-TX22

  • 则由Delta算子描述的系统(1)—(2)是协同状态反馈稳定的.此时,协同状态反馈控制器增益为Kδ21=Y11X11-1,Kδ12=Y22X22-1.

  • 证明 建立δ域的李雅普诺夫函数:

  • Vxtk=xTtkPxtk
    (8)
  • 结合引理1、李雅普诺夫函数(8)及表达式(5),可以得到:

  • δVxtk=δTxtkPxtk+xTtkPδxtk+TδTxtkPδxtk=

  • xTtkAδTPxtk+xTtkPAδxtk+TδTxtkPδxtk.
    (9)
  • 注意到,对于正定实矩阵W^有:

  • 0=δTxtkW^Aδxtk-δxtk
    (10)
  • 将式(10)代入式(9)中可以得到:

  • δVxtk=xTtkAδTPxtk+xTtkPAδxtk+TδTxtkPδxtk+δTxtkW^Aδxtk+xTtkAδTW^δxtk-2δTxtkW^δxtk=xTtkAδTP+PAδxtk+δTxtk(TP-2W^)δxtk+δTxtkW^Aδxtk+xTtkAδTW^δxtk=ξTtkΣ1ξtk,
    (11)
  • 其中ξtk=δTxtk xTtkT.

  • 由式(11)可知,δVxtk<0成立的充分必要条件是

  • Σ1=TP-2W^W^Aδ*AδTP+PAδ<0
    (12)
  • 对不等式(12)左右两边同乘以正定矩阵W^-100P-1,可得

  • W^-1TPW^-1-2W^-1AδP-1*P-1AδT+AδP-1<0.
    (13)
  • 根据引理2,上述矩阵不等式(13)成立等价于

  • -2W^-1AδP-1TW^-1*P-1AδT+AδP-10**-TP-1<0

  • 此时再令P-1=X,W-1=W^,可以得到:

  • Σ=-2WAδXTW*HeAδX0**-TX<0
    (14)
  • 将式(5)中的矩阵Aδ代入式(14),并令Kδ21X11=Y11,Kδ12X22=Y22得到

  • Σ=Σ11Σ12Σ13*Σ220**Σ33<0

  • 进一步可知,当上述线性矩阵不等式Σ <0时,式(12)也成立.进而

  • δVxtk=Vxtk+T-VxtkT=1TxTtk+TPxtk+T-xTtkPxtk<0.

  • 可知在xtk≠0时,下述不等式成立:

  • xTtk+TPxtk+T-xTtkPxtk<0
    (15)
  • 这就是说李雅普诺夫函数xTtkPxtkδ域中是严格减函数.因此可以得到

  • xTtkPxtk0,k0.

  • 又因为矩阵P >0是一个常数矩阵,有

  • xtk0,k0

  • 由此可知,在线性矩阵不等式Σ <0成立的情况下,系统(1)—(2)是协同状态反馈稳定的.定理1得证.

  • 2.2 协同控制器设计的性能优化问题

  • 定理2如果存在正定矩阵X11Rn1×n1,X22Rn2×n2,W11Rn1×n1,W22Rn2×n2,Z11Rn1×n1,Z22Rn2×n2和矩阵X12Rn1×n2,W12Rn1×n2,Z12Rn1×n2,Y11Rm2×n1,Y12Rm2×n2,Y21Rm1×n1,Y22Rm1x2,使得线性矩阵不等式:

  • X=X11X12*X22>0,W=W11W12*W22>0,Z=Z11Z12*Z22>0,Π=Π11Π12Π1300*Π220Π24Π25**Π3300***Π440****Π55<0
    (16)
  • 成立,其中

  • Π11=-2W11-2W12*-2W22,Π12=Aδ1X11+Bδ12Y21Aδ1X12+Bδ12Y22Bδ21Y11+Aδ2X12TBδ21Y12+Aδ2X22Π13=TW11TW12TW12TTW22,Π22=Π12+Π12T,

  • Π24=X11TX12TX12X22T,Π25=Y11TY21TY12TY22T,Π33=-TX11-TX12*-TX22,Π44=-Z11-Z12*-Z22Π55=-C21-10*-C12-1,

  • 则状态反馈控制器u12=Kδ12x2=Y22X22-1x2u21=Kδ21x1=Y11X11-1x1可以使得系统(1)—(2)协同稳定,且性能指标(6)的上界满足不等式

  • JxTt0Pxt0
    (17)
  • 证明 如定理1所示,取δ域上的李雅普诺夫函数为

  • Vxtk=xTtkPxtk

  • 结合式(9)与式(10),令

  • δVxtk<-xTtkQ+KdTCdKdxtk<0,
    (18)
  • δVxtk+xTtkQ+KdTCdKdxtk=ξTtkΠ1ξtk<0
    (19)
  • 其中,ξtk=δTxtkxTtkT,则(19)成立的充分必要条件是

  • Π1=TP-2W^W^Aδ*AδTP+PAδ+Q+KdTCdKd<0
    (20)
  • 对式(20)两边同乘正定矩阵W^-100P-1,可得

  • W^-1TPW^-1-2W^-1AδP-1ΩΩ<0,
    (21)
  • 其中Ω=P-1AδT+AδP-1+P-1QP-1+P-1KdTCdKdP-1.

  • 根据引理2,上述矩阵不等式(21)等价于

  • -2W^-1AδP-1TW^-1*Ω0**-TP-1<0
    (22)
  • W^-1=W,P-1=X,Kδ21X11=Y11,Kδ12X22=Y22,并再次使用引理2,可以得到

  • Π=-2WAδXTW00*HeAδX0XTYT**-TX00***-Q-10****-Cd-1<0.
    (23)
  • 将矩阵Aδ=Aδ1Bδ12Kδ12Bδ21Kδ21Aδ2代入不等式(23)中,得到

  • Π=Π11Π12Π1300*Π220Π24Π25**Π3300***Π440****Π55<0

  • 由此可知,Π<0当且仅当Π1<0.

  • 进一步,对于任意整数k >0,对式(18)两边同时乘采样时间T,并从0到kT进行求和,可以得到

  • Tk=0 xTtkQ+KdTCdKdxtkVxt0

  • JxTt0Pxt0

  • 此时定理2得证.

  • 综上所述,定理1和定理2以线性矩阵不等式形式,分别给出了状态反馈协同控制器的可行性设计方法和状态反馈协同控制器的优化设计方法.

  • 注2 相比于文献[9]的方法,本文放宽了等式(10)中正定矩阵必须与线性矩阵不等式中正定矩阵相同的要求,即,原文中引入

  • 0=δTxtkPAδxtk-δxtk

  • 而不是

  • 0=δTxtkW^Aδxtk-δxtk

  • 本文中,通过引入辅助变量W^,降低了原方法的保守性,得到适用于更一般情况的结果.本文第3部分的例子进一步验证了本文方法的有效性与优越性.

  • 进一步,下述定理3给出了最优性能J的控制设计方法.

  • 定理3 对于给定的系统(1)—(2)和性能指标(6),如果以下的优化问题

  • minγ s.t. ( i )X11X12*X22>0

  • (ii) W=W11W12*W22>0,

  • (iii) Z=Z11Z12*Z22>0,

  • (iv) Π=Π11Π12Π1300*Π220Π24Π25**Π3300***Π440****Π55<0,

  • (V)-γx1T(0)x2T(0)*-X11-X12**-X22<0

  • 有解,则u12=Kδ12x2=Y22X22-1x2u21=Kδ21x1=Y11X11-1x1是系统(1)—(2)的协同状态反馈保性能控制器,且性能JxTt0Pxt0<γ.

  • 证明 与定理2相比,条件(ⅰ)—(ⅳ)是相同的.由定理2,令JxTt0Pxt0<γ,应用引理2,并注意到P-1=X,易得条件(ⅴ).定理3得证.

  • 3 数值仿真

  • 本节将通过Matlab软件平台的Simulink进行仿真,验证所提定理的有效性.

  • 考虑Delta算子描述的独立子系统参数取值如下:

  • Aδ1=-0.00550.00050.0025-0.005Aδ2=-0.050-0.05-0.05Bδ12=0.010.050.010.07Bδ21=0.010.050.030.01

  • Delta算子采样周期T=0.05,两个子系统的初始状态值取为x1(0)=x2(0)=0.5 -0.5T.总结本文可行解及优化解两种方法与文献[9]的可行解及优化解两种方法,如表1所示.

  • 通过表1比较可以看出,本文的设计方法比文献[9]中的方法在求解方法上保守性更低.

  • 根据本文定理1可得到可行解Kδ12,Kδ21分别为

  • Kδ12=20.4749 -3.8668-4.9382 2.1327

  • 表1 四种控制方法比较

  • Table1 Comparison of four control methods

  • Kδ21=2.2832 -2.558 21.6034 4.981 4.

  • 根据本文定理3可求得优化的性能指标J=5.000 7.此时可以得到最优解Kδ12,Kδ21

  • Kδ12=0.4804-0.96941.01310.5633,Kδ21=0.5000-0.74750.74750.5000.

  • 经Matlab-Simulink仿真,两个子系统协同控制下的状态仿真结果分别如图1与图2所示.由仿真结果可以看出本文提出的可行性方法以及优化方法均能使得系统状态在很短时间内收敛到0,有效实现协同稳定的控制效果.

  • 图1 子系统1在协同控制下的状态仿真结果

  • Fig.1 State simulation results for the first subsystem under cooperative control

  • 进一步,比较两个子系统的状态响应结果图1—2与控制输入响应结果图3—4,可以看出,优化算法下的状态会收敛更快且需要耗费的控制输入成本更少.

  • 4 结束语

  • 本文提出的基于Delta算子框架的线性大系统协同稳定的充分条件,使得含有不稳定子系统的大系统协同稳定的同时放宽了已有研究控制器设计中对正定矩阵的约束条件.根据李雅普诺夫稳定性理论证明了所提方法的有效性及优越性.仿真结果表明,本文所设计的协同控制器可以确保系统稳定运行.

  • 图2 子系统2在协同控制下的状态仿真结果

  • Fig.2 States simulation results for the second subsystem under cooperative control

  • 图3 子系统1在协同控制下的控制输入仿真结果

  • Fig.3 Control input simulation results for the first subsystem under cooperative control

  • 图4 子系统2在协同控制下的控制输入仿真结果

  • Fig.4 Control input simulation results for the second subsystem under cooperative control

  • 参考文献

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